Задачка по теории мер

[Germount]

Доброго времени суток всем.
В очередной раз прошу о помощи
Итак
$ R^d $ кольцо элементарных геометрических фигур.
Пусть $ A \in R^d $ элементарная геометрическая фигура и $ A= \cup_i_=_1^k P_i =\cup_j_=_1^l Q_j$, где $P_i , Q_j $попарно дизъюнктивные, то есть при любом $ P_i, P_j, j\neq i, j,i =1....k , P_j\cap P_i = \emptyset$ , пареллельные осям квадраты в $ R^d $, и $ \mu $ для которого
$ \sum_i_=_1^k \mu (P_i)= \sum_j_=_1^l \mu (Q_j) $.
Надо показать что для любых $ B,C \in R^d , C\cap B = \emptyset$ действует
$ \mu (C \cup B) = \mu(C)+\mu(B) $
Идейку подскажите, если не затруднит, с чего тут начать, а даже не знаю как подступиться.
Если что непонятно, сорри, я с немецкого переводил, по русски многих терминов не знаю Но могу своими словами объяснить )
Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Ваше сообщение из-за дословного перевода с немецкого наполовину является бессмыслицей - можно только догадываться, что на самом деле имеется в виду. Попробуйте перевести осмысленно - а так Вам почти невозможно помочь. А символ пустого множества Вы можете скопировать отсюда: $\emptyset $.

[Germount]

С квадратами поторопился, я даж не знаю как оно по русски будет, по английски Cuboid. Только не трёхмерный, а d-мерный в данном случае.

[Brukvalub]

По русски это , скорее всего, будет d-мерный параллелепипед, или брус.
Теперь стало яснее.Понять бы еще, что понимается под элементарными фигурами - если это всевозможные объединения конечных множеств попарно дизъюнктных брусов, то утверждение становится очевидным.

[Germount]

Буду знать ) Брусы значит.
Что такое элементарные фигуры вы поняли правильно(есть кстати русское обозначение?)
То что задачка почти тривиальна, я конечно догадываюсь, но если не трудно, скажите хотя бы с чего начать доказательство.

[Brukvalub]

По-русски тоже можно называть элементарной фигурой.
Если$ B= \cup_i_=_1^k P_i $ и $C=\cup_j_=_1^l Q_j$ - дизъюнктные представления В и С, то $ B\cup C= \cup_i_=_1^k P_i\cup(\cup_j_=_1^l Q_j)$ - дизъюнктное представление $ B\cup C $,(ведь В и С не пересекаются) и тогда, по свойству меры$ \mu$ : $ \mu (C \cup B) = \sum_i_=_1^k \mu (P_i)+ \sum_j_=_1^l \mu (Q_j) =\mu(C)+\mu(B) $. Конечно, здесь я сам додумал определение меры для дизъюнктного объединения брусов, поскольку Ваш текст все равно остается неполным.

[Germount]

Этот переход не совсем ясен.

Brukvalub писал(а):

тогда, по свойству меры$ \mu$ : $ \mu (C \cup B) = \sum_i_=_1^k \mu (P_i)+ \sum_j_=_1^l \mu (Q_j) $.

Как он следует из заданного свойства фукции (она мерой в том смысле, в какой нам её формулировали не является ), я не понимаю
В свойстве ведь только говорится, что суммы мер различных дизъюнктных представлений одного множества равны.

[Sasha2]

Господа, а не подскажете еще такой вопрос. Вот мне кажется, что ответ на заданный вопрос фактически содержится во втором томе Зрича (Математический анализ, глава "Кратные интегралы"). Но к сожалению Зорич считает, что это утверждение тривиальное и даже не стоит того, чтобы приводить доказательство.
Вопрос такой: действительно ли курс Зорича следует считать, ну скажем так, самым сильным.
И как, напимер, соотносится этот курс с классикой Фихтенгольца. Короче, чтобы Вы порекомендовали для первого чтения?

Dan_Te:

Замечание за оффтопик."Какая книжка лучше" - это отдельная, очень большая и спорная тема. Если вы хотите ее обсудить, заведите отдельную тему. А здесь, как нетрудно видеть, обсуждается конкретная задача.

[Brukvalub]

Germount писал(а):

Этот переход не совсем ясен.

Brukvalub писал(а):

тогда, по свойству меры$ \mu$ : $ \mu (C \cup B) = \sum_i_=_1^k \mu (P_i)+ \sum_j_=_1^l \mu (Q_j) $.

Как он следует из заданного свойства фукции (она мерой в том смысле, в какой нам её формулировали не является ), я не понимаю
В свойстве ведь только говорится, что суммы мер различных дизъюнктных представлений одного множества равны.

В Вашем тексте вообще не содержится определения величины $ \mu (A) $ для элементарных геометрических фигур. . Я писал Вам:

Цитата:

Конечно, здесь я сам додумал определение меры для дизъюнктного объединения брусов, поскольку Ваш текст все равно остается неполным.

.
А именно, логично было предположить, что эта мера равна сумме мер элементов дизъюнктного представления - тогда утверждение становится почти тривиальным. Есть у меня и другая мысль, что нужно, опираясь на то свойство, что суммы мер различных дизъюнктных представлений одного множества равны, самому получить способ мероизмерения множеств из кольца элементарных геометрических фигур. Но она кажется мне уж совсем фантастической, поэтому я сразу ее отбросил. Еще раз повторю: Ваш текст оставляет желать лучшего в том месте, где ставится сама задача.

Добавлено спустя 37 минут 34 секунды:

Sasha2 писал(а):

...Вопрос такой: действительно ли курс Зорича следует считать, ну скажем так, самым сильным. И как, напимер, соотносится этот курс с классикой Фихтенгольца. Короче, чтобы Вы порекомендовали для первого чтения?

Курс Зорича и курс Фихтенгольца (трехтомник) не стоит сравнивать по силе и т.п. Это просто разные учебники, написанные в разное время и для разных целей. Курс Фихтенгольца берет свое начало из французской школы преподавания математики и является непревзойденным образцом классицизма. В нем разбирается масса примеров,каждое понятие рассматривается всесторонне и т.п. Но манера изложения понятия предела, кратного интеграла и еще некоторых разделов, с точки зрения современных курсов, немного устарела - нет предела по базе, нет анализа на многообразиях, нет и еще некоторых непременных атрибутов нынешних курсов анализа. Но все это не умоляет неоспоримых достоинств курса Фихтенгольца - он был и остается великолепно организованной энциклопедией классического математического анализа.
В.А. Зорич писал свой учебник, получив предварительно опыт чтения лекций на так называемом экспериментальном потоке мех-мата. В 70-е годы на мех-мате был организован и несколько лет работал специальный поток обучения студентов, основной целью которого была фундаментальная подготовка специалистов-математиков, которые сразу после обучения могли бы заниматься исследованиями в естествознании (прежде всего - в физике). Поэтому чистый академизм в преподавании на этом потоке часто дополнялся рассмотрением задач в физической постановке. На этом же потоке работали академики В.И.Арнольд, С.П.Новиков, и другие известные ученые. Учебник Зорича несет в себе следы работы на этом потоке: изложение большинства понятий начинается с рассмотрения физических задач, для которых это понятие применяется, много примеров и упражнений с естественно-научным уклоном и т. п. Кроме того, учебник Зорича содержит подробное изложение большинства современных тем анализа, отсутствующих по историческим причинам в Фихтенгольце. Но, еще раз повторяю: не спешите выбрасывать учебник Фихтенгольца - это Книга на все времена.

[Germount]

Спасибо всем за помощь. Brukvalub´у в особенности. Разобрался вобщем