Рекуррента и ряды

[zluka]

Докажите, что
$d(n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$
удовлетворяют рекуррентному соотношению
$d(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k}d(k-1)$
Подскажите пожалуйста с чего начать...и как закончить)

[EtCetera]

А Вы уверены, что рекуррентное соотношение правильно записали?

[caxap]

где у него конец?

[zluka]

Да вы правы, извините
Я перепутал пределы суммирования
теперь все верно.

[caxap]

Что-то у вас не то всё равно. У рекуррентного соотношения должен быть выход, т. е. какое-то начальное значение. Хотя при любом начальном значении с первой формулой не сходится.

[EtCetera]

Нет. Теперь все правильно. Ну, почти все. Правильно будет так: $d(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k}d(k)$.
С точностью до экспоненты $d(n)$ $\text{---}$ это числа Белла.

[zluka]

Так все-таки как доказывается эквивалентность рекуррентного и обычного определения?

[EtCetera]

В два приема:
1. $d(n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{k^n}{k!}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\left.\left(e^{kx}\right)^{(n)}\right|_{x=0}}{k!}=\left.\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\left(e^x\right)^k}{k!}\right)^{(n)}\right|_{x=0}=\left.\left(e^{e^x}\right)^{(n)}\right|_{x=0}$
2. $d(n+1)=\left.\left(e^{e^x}\right)^{(n+1)}\right|_{x=0}=\left.\left(\left(e^{e^x}\right)'\right)^{(n)}\right|_{x=0}=\left.\left(e^{e^x}\cdot e^x\right)^{(n)}\right|_{x=0}$
По правилу Лейбница получаем:

$$\left.\left(e^{e^x}\cdot e^x\right)^{(n)}\right|_{x=0}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left.\left(e^{e^x}\right)^{(k)}\right|_{x=0}\cdot\left.\left(e^x\right)^{(n-k)}\right|_{x=0}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left.\left(e^{e^x}\right)^{(k)}\right|_{x=0}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}d(k)$$

[zluka]

Ой все совсем понятно. Чем ближе ночь тем тупее у меня вопросы