Приближённое значение логарифма

[Xenia1996]

Не используя калькулятор (комп, таблицы и прочую вычислительную %рень), вычислить логарифм по основанию 2 от числа 3 с точностью до одного знака после запятой.

Я смогла лишь установить, что этот логарифм больше 1.5, но меньше 1.6. Действительно, $2^{1.5}=\sqrt{8}<3$, но $2^{1.6}=\sqrt[5]{256}>3$, ибо $3^5=243$.
Но для того, чтобы реально вычислить с точностью до знака, нужно ещё и округлить. Как без калькулятора узнать, ближе ли значение этого логарифма к 1.5, чем к 1.6?

[Sonic86]

А ряд Маклорена для логарифма использовать можно?

О!!! Надо взять медианту дробей $\frac{3}{2}$ и $\frac{8}{5}$ - $\frac{11}{7}$! Она дает гарантированно относительно более близкое значение, чем предыдущие 2.

-- Ср дек 01, 2010 14:21:10 --

Т.е. считаем $2^{11}$ и $3^7$, сравниваем, а оттуда уже выводим значение логарифма
(В принципе так можно логарифм сколь угодно точно посчитать, если нервов хватит... )

[Xenia1996]

Насчёт рядов Мклорена не уверена, поскольку задача школьная.
А вот медианту попробую использовать (но от меня, конечно, потребуют доказательство того, что медианта двух дробей всегда заключена между ними).

Спасибо!

-- Ср дек 01, 2010 13:35:08 --

Sonic86 в сообщении #382343 писал(а):

(В принципе так можно логарифм сколь угодно точно посчитать, если нервов хватит... )

(Нервов-то хватит, жаль живём не вечно )

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #382340 писал(а):

Как без калькулятора узнать, ближе ли значение этого логарифма к 1.5, чем к 1.6?

$2^{\frac{1}{8}}=\left( \frac{16}{15} \times \frac{15}{14}\times \cdots \times \frac{9}{8} \right)^{\frac{1}{8}} < \frac{9}{8}$
$2^{\frac{25}{8}}<9$
$2^{\frac{25}{16}}<3$
$2^{1.56}<3$

[Евгений Машеров]

$2^{1.5}=2*\sqrt{2}\approx 2*1.414= 2.828$
$3/2.828\approx 1.06$
$ln(1.06)\approx 0.06$
$lg_2{1.06}=ln(1.06)/ln(2)\approx 0.06/0.69\approx 0.08$
$1.5+0.08\approx 1.6$