Консервативные силы.

[truth]

Здравствуйте.
Есть вопросы по 2 примерам.
1) У нас есть центральное поле. $\vec{f(r)}=f(r)\frac{\vec{r}}{r}. dA = f(r) \frac{\vec{r}d\vec{l}}{r} = f(r)dr$.
Во втором уравнении не ясно, почему $\vec{r}d\vec{l} =r dr$. Идём дальше. $A=\oint f(r)dr = \int\limits_a^b f(r)dr + \int\limits_b^a f(r)dr =0$, здесь $a=r_{min} , b=r_{max}$, и здесь не ясно всё - почему так расписали интеграл по круговому контуру?
2) Сила трения. $\vec f(r,v) = -f(v)\vec v$. $\oint\vec f d\vec l =\oint \vec f \vec v dt = - \oint f(v) v^2 dt <0$, т.е. силы неконсервативны.
Здесь неясность начинается после второго равенства - откуда появился минус, да и всё подъинтегральное выражение. Вот такая печаль.

[Bulinator]

truth в сообщении #381903 писал(а):

Во втором уравнении не ясно, почему $\vec{r}d\vec{l} = dr$

Не, $\frac{\vec{r}d\vec{l}}{r}=dr$
Это легко понять разложив $d\vec{l}$ на компоненты: параллельную $\vec{r}$ и перпендикулярную ей. Первая по модулю равна $dr$ а вторая исчезает в скалярном произведении.

-- Вт ноя 30, 2010 02:27:42 --

truth в сообщении #381903 писал(а):

и здесь не ясно всё - почему так расписали интеграл по круговому контуру?

Потому что подинтегральное выражение не зависит от $\varphi$.
В общем случае нужно записать $d\vec{l}=\frac{\vec{r}}{r}dr+r d\vec{\varphi}$. Проинтегрируйте по контуру предполагая, что подинтегральное выражение не зависит от $\varphi$ и убедитесь, что интеграл не зависит от контура.

[truth]

Упс, исправил
Отлично, с этим разобрался.

Цитата:

Проинтегрируйте по контуру

я извиняюсь, интеграл по контуру от определённого интеграла чем отличается?
И ещё - это мы в полярной с.к. смотрим?

[Bulinator]

truth в сообщении #381903 писал(а):

2) Сила трения. $\vec f(r,v) = -f(v)\vec v$. $\oint\vec f d\vec l =\oint \vec f \vec v dt = - \oint f(v) v^2 dt <0$, т.е. силы неконсервативны.
Здесь неясность начинается после второго равенства - откуда появился минус, да и всё подъинтегральное выражение. Вот такая печаль.

Непонимание идет от одинакового обозначения силы трения и коэффициента. Переобозначте $f$ в правой части равенства

truth в сообщении #381903 писал(а):

$\vec f(r,v) = -f(v)\vec v$.

Замените его, например на $\vec{f}(r,v)=-g\vec{v}$.
Чему равна работа в этих обозначениях??

[truth]

Цитата:

Чему равна работа в этих обозначениях??

$A = - \oint g \vec v \vec v dt$, значит всё хорошо.

[Bulinator]

truth в сообщении #381916 писал(а):

И ещё - это мы в полярной с.к. смотрим?

Да.

[truth]

нет, первый пример положительно не ясен.
Может быть есть правило - как расписывать интегралы по контуру через человеческие...

[Bulinator]

truth в сообщении #381930 писал(а):

Может быть есть правило - как расписывать интегралы по контуру через человеческие...

Контур -это замкнутая кривая. Кривые обычно задаются параметрически:
$r=r(t), \varphi=\varphi(t)$. Элемент длины $dl$ в полярных координатах записывается так:
$dl=\sqrt{dr^2+r^2d\varphi^2}=\sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2}dt$.

Если вы хотите посчитать интеграл от скалярной функции по контуру берете
$\oint{f(r,\varphi)dl=\int\limits_a^b{f(r(t),\varphi(t))\sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2}dt$.
Когда $t$ меняется от $a$ до $b$ точка $(r(t),\varphi(t))$ обходит весь контур.

-- Вт ноя 30, 2010 03:14:52 --

Кривая может задавться в векторном виде:
$\vec{r}=\vec{r}(t)$,
тогда
$d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}dt$.
С другой стороны вектор $d\vec{r}$ можно разложить на компоненты: $d\vec{r}\equiv d\vec{l}=\frac{\vec{r}}{r}dr+r d\vec{\varphi}$

[truth]

Спасибо за справку - очень полезно.
Тогда вправе ли мы здесь - что бы было понятнее, написать $\int \limits_a^a f(r)dr = \int \limits_b^b f(r)dr = 0$, ну, например, спутник сделал один оборот по орбите?

[Bulinator]

truth в сообщении #381940 писал(а):

Тогда вправе ли мы здесь - что бы было понятнее, написать $\int \limits_a^a f(r)dr = \int \limits_b^b f(r)dr = 0$, ну, например, спутник сделал один оборот по орбите?

Вобщем, да, если $f(r)$ есть функция из первого примера (кстати опять неудачные обозначения). Берете $\vec{f}$ умножаете его на $d\vec{l}\equiv d\vec{r}$. Член с $d\vec{\varphi}$ сократится (ибо $d\vec{\varphi}$ по определению перпендикулярно $\vec{r}$ ) и получите этот интеграл.

[truth]

Цитата:

До этого весь мир был тьмой окутан...

Большое Вам спасибо, теперь всё ясно.

[Александр Т.]

Bulinator в сообщении #381910 писал(а):

В общем случае нужно записать $d\vec{l}=\frac{\vec{r}}{r}dr+r d\vec{\varphi}$.

Bulinator в сообщении #381934 писал(а):

С другой стороны вектор $d\vec{r}$ можно разложить на компоненты: $d\vec{r}\equiv d\vec{l}=\frac{\vec{r}}{r}dr+r d\vec{\varphi}$

Bulinator в сообщении #381946 писал(а):

Член с $d\vec{\varphi}$ сократится (ибо $d\vec{\varphi}$ по определению перпендикулярно $\vec{r}$ ) и получите этот интеграл.

Что такое $d\vec{\varphi}$?

Не стал бы на это реагировать, но вот

truth в сообщении #381948 писал(а):

Цитата:

До этого весь мир был тьмой окутан...

Большое Вам спасибо, теперь всё ясно.

Значит, Вы поняли что такое $d\vec{\varphi}$?

[Bulinator]

Александр Т. в сообщении #382026 писал(а):

Что такое $d\vec{\varphi}$?

Это $d\varphi$ умноженное на единичный вектор, перпендикулярный $\vec{r}$ и направленный против часовой стрелки, где $\varphi$ - угол между какой-нибудь фиксированной прямой и радиус-вектором $\vec{r}$ направленным из начала координат в данную точку. $d\varphi$- дифференциал $\varphi$.

(Оффтоп)

Цитата:

Один педантичный профессор имел обыкновение говорить: «...полином четвертой степени
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$,
где $e$ не обязано быть основанием натуральных логарифмов» (но может им быть).
(Цит. по книге: Литлвуд Дж. Математическая смесь. М., 1990.)

[ewert]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #382097 писал(а):

не обязано быть основанием натуральных логарифмов» (но может им быть)

Да, байка известная. Но тем не менее, как ни странно, довольно-таки жизненная. Скажем, как только я произнесу что-нибудь типа "$\vec a\times[\vec b\times\vec c]\neq[\vec a\times\vec b]\times\vec c$, вообще говоря" -- в большинстве случаев найдётся товарищ, который спросит: а что означают слова "вообще говоря"?...

[BISHA]

truth в сообщении #381903 писал(а):

Здесь неясность начинается после второго равенства - откуда появился минус, да и всё подъинтегральное выражение. Вот такая печаль.

Направление скорости и силы трения противоположны. Это все!