собственные вектора и собственные значения

[lenok.marshal]

У меня в задаче встречается квадратная $n\times n$ симметричная матрица с действительными элементами. И практически я вижу, что у нее фиксированное число $m<n$ линейно независимых cобственных векторов с собственным значением ноль. Как доказать, что $m$ это максимальное число? ($m$ равно 4, а $n$ может быть равно 1000 и больше) Собственные вектора для других значений считать тяжело и надо обойтись без них.

[Joker_vD]

Считать алгебраическую/геометрическую кратность?

[lenok.marshal]

Joker_vD в сообщении #381225 писал(а):

Считать алгебраическую/геометрическую кратность?

Надо подумать как точно сформулировать, с этим у меня всегда проблемы. Скажем как доказать, что геометрическая кратность равна $m$ (ну и автоматически и алгебраическая кратность ей будет равна, потому что матрица обратима)?

[ewert]

lenok.marshal в сообщении #381233 писал(а):

кажем как доказать, что геометрическая кратность равна $m$

Найти ранг -- дополнение к нему и будет геометрической кратностью нулевого собственного числа.

lenok.marshal в сообщении #381233 писал(а):

(ну и автоматически и алгебраическая кратность ей будет равна, потому что матрица обратима)?

Вы бы уж выбирали выражения-то. Во-первых, она не обратима; а во-вторых, при чём тут обратимость?...

[lenok.marshal]

ewert в сообщении #381289 писал(а):

Вы бы уж выбирали выражения-то. Во-первых, она не обратима; а во-вторых, при чём тут обратимость?...

Простите, диагонализируема... Для действительных симметричных матриц известно, что они диагонализируемы, что подразумевает, что для каждого соб. зн. его геометрическая кратность равна алгебраической. Это я имела ввиду.

ewert в сообщении #381289 писал(а):

Найти ранг -- дополнение к нему и будет геометрической кратностью нулевого собственного числа.

Знаю такое, геометрическая кратность соб. зн. ноль равна разности $n-rank(A)$. Но как доказательство не подходит.

Получается, для многих частных случаев я могу численно и ранг и соб. век. и зн. посчитать и вижу, что соб. век. соответствующих соб. зн. 0 только m штук -- но это как бы не доказательство, что в целом это так. А аналитически в общем случае я могу найти m тех самых соб. век. (используя соображения вытекающие из самой задачи, причем ничего другого найти не удается), но показать, что их не более чем m не знаю как.. Вот в этом и вопрос.

Видела похожие задачи в учебниках, но сейчас их найти не могу. Может как-то к линейной комбинации этих векторов добавить что-то и показать, что это будет уже не соб. век. и потому их только m... Подскажите...

[Joker_vD]

Геометрическая кратность собственного значения — это размерность собственного подпространства, т.е., грубо говоря, количество линейно независимых собственных векторов заданного собственного значения. Ну так и покажите, что ваше $m$ равно $n - \mathrm{rank}\, A$

[lenok.marshal]

Joker_vD в сообщении #381367 писал(а):

Геометрическая кратность собственного значения — это размерность собственного подпространства, т.е., грубо говоря, количество линейно независимых собственных векторов заданного собственного значения. Ну так и покажите, что ваше $m$ равно $n - \mathrm{rank}\, A$

Аналитически ранг посчитать невозможно, я написала вверху. Другой способ есть?

[Joker_vD]

lenok.marshal в сообщении #381517 писал(а):

Аналитически ранг посчитать невозможно, я написала вверху. Другой способ есть?

А посчитать ранг численно не получится?

[ewert]

lenok.marshal в сообщении #381517 писал(а):

Аналитически ранг посчитать невозможно, я написала вверху. Другой способ есть?

Нет. Если невозможно посчитать ранг аналитически -- то аналитически посчитать его невозможно.