Помогите достроить функцию.

[The Last Samurai]

Найти многочлен наименьшей степени такой,чтобы функция $f(x)$ была дифференцируема на всей числовой прямой

$$f(x)=\left\{ \frac {3x} {5x^2+4},|x| \ge 1\atop g(x), |x| <1$$

Была идея тупо соединить прямой,но ведь тогда в точках -1 и 1 функция будет как-бы угловатой и не будет иметь производную.Точнее их будет целое семейство как для $|x|$ в точке 0.

[Dan B-Yallay]

Вам нужно чтобы не только функция была непрерывной, но и производные слева/справа совпадали в обеих точках $\{-1,1\}$

[ewert]

The Last Samurai в сообщении #380631 писал(а):

многочлен наименьшей степени

У Вас четыре условия сшивания (два на саму функцию и два на производную). Соответственно, нужен многочлен с четырьмя неизвестными коэффициентами, т.е. кубический. Ситуация облегчается тем, что исходная функция нечётна, так что фактически придётся отыскивать лишь два коэффициента.

[The Last Samurai]

то есть два условия на функцию это существования двух пределов $lim_{x\to1}=f(1)$ и $lim_{x\to-1}=f(-1)$ ? а что значит производные должны совпадать? почему они должны совпадать?

[The Last Samurai]

то есть два условия на функцию это существования двух пределов $lim_{x\to1}=f(1)$ и $lim_{x\to-1}=f(-1)$ ? а что значит производные должны совпадать? почему они должны совпадать?

[ewert]

Я ничего не понял, но и Вы -- ещё менее. Попытайтесь припомнить, что такое односторонние пределы. Если не удастся -- то, значить, аминь.

[ИСН]

The Last Samurai в сообщении #380777 писал(а):

почему они должны совпадать?

Иначе

The Last Samurai в сообщении #380631 писал(а):

функция будет как-бы угловатой и не будет иметь производную

[The Last Samurai]

а вот это выражение "как бы угловатой" на что можно заменить?

[AD]

The Last Samurai в сообщении #380896 писал(а):

а вот это выражение "как бы угловатой" на что можно заменить?

Это когда левая и правая производная не совпадают. То есть левый и правый пределы конечных разностей.
Какой-то я скучный сегодня.

[Joker_vD]

The Last Samurai в сообщении #380896 писал(а):

а вот это выражение "как бы угловатой" на что можно заменить?

Негладкий, сиречь имеющий разрывную производную.

[AD]

(Всякое занудство)

Joker_vD в сообщении #380913 писал(а):

Негладкий, сиречь имеющий разрывную производную.

Во, а вот в этом месте начинается вечный холивар на тему "что лучше - считать функцию $f(x)=1/x$ не имеющей разрыва в точке $x=0$, или же считать функцию $g(x)=\sqrt{x}$ имеющей разрыв в точке $x=-10$".
Ну т.е. можно ли говорить о разрыве, когда функция даже не определена в точке under consideration.

[Gortaur]

(Оффтоп)

-10 это новая математическая константа? разрыв корня?

-- Сб ноя 27, 2010 00:05:06 --

The Last Samurai
Извините за столь приватный вопрос - у Вас был курс матанализа? Точнее, ходили ли Вы на пары, когда проходили тему "производная функции"? Спрашиваю потому, что Ваша задача больше студенческая, чем школьная - и может Вам нужен более развернутый ответ, чем приведенные выше. Если Вы не проходили производную (пределы по Коши и Гейне тоже были бы кстати), то можно сказать следующее:
угла нет, если
1. существуют

$$ \lim\limits_{h\rightarrow +0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

и

$$ \lim\limits_{h\rightarrow -0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

2. они равны.

Если они не равны, будет угол. Если они не существуют, то

(Оффтоп)

(о ужас)

- может быть, тоже будет угол, а может что и похуже. Например, броуновское движение - в каждой точке угол. По крайней мере, его так старательно рисуют от руки.

[The Last Samurai]

спасибо за подробный ответ! на пары ходил,но видно не все дошло), не знал,что этот самый угол возникает при неравенстве пределов слева и справа