Здравствуйте!
ЗадачаЗная три частных решения

линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. (Филиппов, № 716).
Решение (попытка)Теорема
(формулировка взята из В. В. Степанова, «Курс дифференциальных уравнений», УРСС, 2004). Если известно какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то общее его решение есть сумма этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Общий вид неоднородного уравнения данного вида:

(1)
Однородное для данного неоднородного:

(2)
Возьмем частное решение

. Подставив его в (1) получаем, что

.
Попытаемся получить из

решения для (2). Предположим, что

.
Так как

, то

.
Мы знаем, что
![$\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} \equiv b(x)\]$ $\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} \equiv b(x)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/f/50f4f770effd2bfa80cd50f54f1f251a82.png)
.
Отнимем из левой и правой части
![$\[b(x)\]$ $\[b(x)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/2/0928a29157b68342537500b1b46e7c3e82.png)
. Получим:
![$\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} - b(x) \equiv 0\]$ $\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} - b(x) \equiv 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/2/a52661cbfc3fbe432f3d0c4dc962ba8182.png)
.
Очевидно, что если
![$\[y_2^* = x - 1\]$ $\[y_2^* = x - 1\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/0/5e0e8fbceb49aafc02dab786d6f9bc0a82.png)
, то
![$\[y_2^*\]$ $\[y_2^*\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/2/a02d3800d6ed961c513b4750f453dff882.png)
является решением (2).
Аналогично и с
![$\[y_3^*\]$ $\[y_3^*\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/9/b998766af89745edd883e30f09668bd182.png)
.
Значит, по теореме, общим решением (1) является следующая функция:
![$\[y = {y_1} + {C_1}y_2^* + {C_2}y_3^* = 1 + {C_1}(x - 1) + {C_2}({x^2} - 1)\]$ $\[y = {y_1} + {C_1}y_2^* + {C_2}y_3^* = 1 + {C_1}(x - 1) + {C_2}({x^2} - 1)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b1ba276634d4f30704c8f58c5516d3082.png)
.
Подскажите, пожалуйста:1) Верно ли решение?
2) Здесь, можно сказать, «повезло». Решение построено на попытках подобрать нужные функции
![$\[y_2^*,y_3^*\]$ $\[y_2^*,y_3^*\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/9/df985f5b4697460f6635df4983bc0bdb82.png)
. Нормально ли это? Существует ли более правильное или легкое решение?
Заранее спасибо.