Общее реш. неодн. лин. ур. через частные реш. (Фил., № 716)

[Alfucio]

Здравствуйте!

Задача
Зная три частных решения ${y_1} = 1,{y_2} = x,{y_3} = {x^2}$ линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. (Филиппов, № 716).

Решение (попытка)
Теорема (формулировка взята из В. В. Степанова, «Курс дифференциальных уравнений», УРСС, 2004). Если известно какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то общее его решение есть сумма этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Общий вид неоднородного уравнения данного вида:
$y'' + {a_1}(x)y' + {a_2}(x)y = b(x)$ (1)

Однородное для данного неоднородного:
$y'' + {a_1}(x)y' + {a_2}(x)y = 0$ (2)

Возьмем частное решение ${y_1} = 1$. Подставив его в (1) получаем, что $0 + {a_1}(x) \cdot 0 + {a_2}(x) \cdot 1 = b(x) \Rightarrow {a_2}(x) = b(x)$.

Попытаемся получить из ${y_2} = x,{y_3} = {x^2}$ решения для (2). Предположим, что $y_2^* = x + a,a \in R$.

Так как ${a_2}(x) \equiv b(x)$, то $y'' + {a_1}(x)y' + {a_2}(x)y \equiv y'' + {a_1}(x)y' + b(x)y$.

Мы знаем, что $\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} \equiv b(x)\]$.

Отнимем из левой и правой части $\[b(x)\]$. Получим: $\[{y_2}'' + {a_1}(x){y_2}' + b(x){y_2} - b(x) \equiv 0\]$.

Очевидно, что если $\[y_2^* = x - 1\]$, то $\[y_2^*\]$ является решением (2).

Аналогично и с $\[y_3^*\]$.

Значит, по теореме, общим решением (1) является следующая функция: $\[y = {y_1} + {C_1}y_2^* + {C_2}y_3^* = 1 + {C_1}(x - 1) + {C_2}({x^2} - 1)\]$.

Подскажите, пожалуйста:
1) Верно ли решение?
2) Здесь, можно сказать, «повезло». Решение построено на попытках подобрать нужные функции $\[y_2^*,y_3^*\]$. Нормально ли это? Существует ли более правильное или легкое решение?

Заранее спасибо.

[Null]

У вас почти правильно.
Можно так решить: $y_0=1$ - частное решение. $y_1=x^2$ - частное решение неоднородного уравнения, значит $Y_1=x^2-1$ - решение однородного уравнения, аналогично $Y_2=x-1$ - решение однородного уравнения.$ Y_1$ и $Y_2$ - линейно независимы(вы это пропустили), значит общее решение однородного уравнения $C_1 Y_1 +C_2 Y_2$, значит общее решение исходного уравнения $y = {y_0} + {C_1}Y_1 + {C_2}Y_2 = 1 + {C_1}(x^2 - 1) + {C_2}({x} - 1)$

Если бы $ Y_1$ и $Y_2$ - были линейно зависимы, то они давали только 1 частное решение однородного уравнения и второе решение мы бы найти не могли.

[Alfucio]

Да, действительно, про линейную независимость необходимо обязательно упоминать...

Null, спасибо :).