Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

Пытаюсь разобраться в группах когомологий. Для этого читаю Современную Геометрию Д.Н.Ф.

В книге гомотопия определяется так:
Два многообразия называются гомотопными если одно непрерывно стягивается в другое.

Далее, доказывается теорема, что группы когомологий для гомотопных пространств одинаковы.

Приводится пример $R^2\backslash\{Q\}$, где $\{Q\}$ -одна точка.

Тут сразу возникает вопрос:
Вопрос 1:
Почему $R^2\backslash\{Q\}$ гомотопно $S^1$? Как это можно показать? На ум приходит взять диск с выколотой по середине точкой, растянуть его и получить $R^2\backslash\{Q\}$ и стянуть и получить $S^1$. Но что то мне не нравится(не могу понять что). Это ведь не правильно??

Теперь, если все-таки учесть, что $R^2\backslash\{Q\}$ гомотопно $S^1$, то берем форму на $S^1$ равную $ad\phi$ и интегрируем по $S^1$. Точные формы на автомате обнуляются и остается число, которое и соответствует классу когомологий.
Понятно, что на $S^1$ форм высшей размерности не определишь, собственно поэтому группа когомологий $H^k$ для $k>1$ равна нулю.

Теперь, если $Q$ не одна а две точки, тогда максимум, что мы можем сделать это стянуть многообразие в восьмерку(наверное...). Но ведь восьмерка не многообразие. Как посчитать для этого случая группу когомологий?

Спасибо за ответы.

[Bulinator]

Кстати, я понял что именно я не понимаю.
Что такое "стягиваются" в случае неограниченных многообразий?
Если $R^2\backslash\{Q\}$ гомотопно $S^1$, то должно быть $R\backslash\{Q\}$ гомотопно одной точке.
Правильно?? А как это показывается??

[Bulinator]

Bulinator в сообщении #379678 писал(а):

одной точке.

А не, не одной а двум-$S^0=Z_2$, ибо $R^2\backslash\{Q\}$ несвязно.

[Ales]

Bulinator в сообщении #379643 писал(а):

Почему $R^2\backslash\{Q\}$ гомотопно $S^1$? Как это можно показать? На ум приходит взять диск с выколотой по середине точкой, растянуть его и получить $R^2\backslash\{Q\}$ и стянуть и получить $S^1$. Но что то мне не нравится(не могу понять что). Это ведь не правильно??

Чтобы было строго надо придумать формулу, например:
$(r,\phi) \to (t+r(1-t),\phi), t \in [0,1]$.

-- Ср ноя 24, 2010 12:49:07 --

Bulinator в сообщении #379678 писал(а):

Кстати, я понял что именно я не понимаю.
Что такое "стягиваются" в случае неограниченных многообразий?

Мне это тоже интуитивно не понятно. Но можно ограничиться компактами.

Плоскость - сфера с выколотой точкой.
Плоскость без двух точек - сфера без трех точек.

Понятное дело, что на плоскости формы могут быть только 0, 1 и 2 порядка.
Смысл рассматривать классы имеет только для форм первого порядка.
Классы строятся по обходам вокруг выколотых точек.

[Bulinator]

Ales в сообщении #379828 писал(а):

Чтобы было строго надо придумать формулу, например:
$(r,\phi) \to (t+r(1-t),\phi), t \in [0,1]$.

А что это за формула??

Википедия выдает следующее:

Wikipedia писал(а):

Given two spaces X and Y, we say they are homotopy equivalent or of the same homotopy type if there exist continuous maps f : X → Y and g : Y → X such that g ∘ f is homotopic to the identity map idX and f ∘ g is homotopic to idY.

Так ведь это получается взаимооднозначное соответствие. А у $R^2\backslash\{Q\}$ и $S^1$ даже размерности разные.

[Munin]

Bulinator в сообщении #379982 писал(а):

А что это за формула??

Высосанная из пальца первая попавшаяся, удовлетворяющая определению из Википедии.

Bulinator в сообщении #379982 писал(а):

Так ведь это получается взаимооднозначное соответствие.

Нет, там весь сок в слове "homotopic". Вот вам явную гомотопию и привели.

[Ales]

Bulinator в сообщении #379982 писал(а):

Ales в сообщении #379828 писал(а):

Чтобы было строго надо придумать формулу, например:
$(r,\phi) \to (t+r(1-t),\phi), t \in [0,1]$.

А что это за формула??

Википедия выдает следующее:

Wikipedia писал(а):

Given two spaces X and Y, we say they are homotopy equivalent or of the same homotopy type if there exist continuous maps f : X → Y and g : Y → X such that g ∘ f is homotopic to the identity map idX and f ∘ g is homotopic to idY.

Так ведь это получается взаимооднозначное соответствие. А у $R^2\backslash\{Q\}$ и $S^1$ даже размерности разные.

Нет, f и g - не обязательно взаимно-однозначные. Композиция отображений переводит в какое-то подмножество внутри себя.

[Padawan]

$f$ -- вложение $S^1$ в $\mathbb R^2\setminus \{0\}$, $g$ отображение $\mathbb R^2\setminus \{0\}$ в $S^1$, которое получается в формуле Ales при $t=1$ (радиальная проекция на $S^1$).
Тогда $f\circ g=g\approx \mathrm{id}_{\mathbb R^2\setminus\{0\}}$, $g\circ f={\mathrm id}_{S^1}$

[Bulinator]

Ales в сообщении #380011 писал(а):

Нет, f и g - не обязательно взаимно-однозначные. Композиция отображений переводит в какое-то подмножество внутри себя.

Блин, я теперь вообще перестал понимать.
Пусть $A$ и $B$ многообразия и $\dim{A}>\dim{B}$. Чтобы показать что они гомотопны нужно:
Построить отображения $f:A\mapsto B$ и $g:B\mapsto A$. $f$ действуя на множество точек в $A$ возвращает одну точку в $B$. $g$ каждой точке из $B$ ставит в соответствие множество точек из $A$.
Далее, рассмотрим композицию$ f\circ g$. Она действует на точку из $B$. $g$- возвращает некоторе множество на $A$ и $f$ должно всему этому множеству поставить в соответствие ту же точку из $B$.
А если рассматреть композицию $ g\circ f$, то это единичное преобразование с точность до всех преобразований внутри того множества, которое соответствует точке на $B$.

-- Ср ноя 24, 2010 21:47:10 --

Munin в сообщении #380001 писал(а):

Нет, там весь сок в слове "homotopic". Вот вам явную гомотопию и привели.

Ааааа... т.е. есть еще "homotopy" между "map"-ами.
Не знал, не знал....

Пойду думать. Чувствую сейчас озарение придет...

[Ales]

Нигде не сказано что $f=g^{-1}$.
Мне кажется, что Вы это неправильно подразумеваете.

[Bulinator]

Эврика!!!!

Берем многообразие $C\supset B$. Далее, отображаем поточечно $A$ в $C$ с помощью отображения $g$ зависящего от некоторого параметра $t\in[0,1]$. Далее, Если можно нарисовать такое обратимое $g(t)$, что $\lim\limits_{t\mapsto 1} g(t)A=B$, то скажем, что $A$ и $B$ гомотопны.
Пример:
Берем $R^2\backslash\{0\}$. Отображаем его на кольцо без границы формулой $(r,\varphi)\mapsto(1+\frac{2}{\pi}(1-t)\arctan{r},\varphi)$. Устремляя $t\mapsto 1$ сжимаем кольцо в окружность.

Правильно??

[Padawan]

Неправильно. Определение гомотопичности многообразий есть. Вы его в википедии нашли. Не надо ничего придумывать.

[Munin]

Насколько я понимаю, если выполняется признак, сформулированный Bulinator-ом, то гомотопичность имеет место, надо только добавить нужные непрерывности.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #380061 писал(а):

Неправильно. Определение гомотопичности многообразий есть. Вы его в википедии нашли. Не надо ничего придумывать.

Я и не придумываю. Это же следует прямо из определений гомотопии функций и гомотопии многообразий.

[Padawan]

Bulinator в сообщении #380057 писал(а):

Далее, Если можно нарисовать такое обратимое $g(t)$, что $\lim\limits_{t\mapsto 1} g(t)A=B$, то скажем, что $A$ и $B$ гомотопны.

То есть Вы даете эквивалентное определение гомотопичности? Уверены, что оно эквивалентно общепринятому?
Почему не нравится пара отображений $f$ и $g$ которые я указывал в сообщении #380014?