Диофантово уравнение

[VAL]

Ales в сообщении #379271 писал(а):

VAL в сообщении #379128 писал(а):

То, что в целых оно не разрешимо, давно выяснили. Выше ведь об этом написано.

Не нашел выше доказательства. Как удалось это определить?

Исходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$. В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

[Ales]

Я бы так решал уравнение $2x^2 - 41y^2 = 1$:
искал бы представление $41=a^2-2b^2$ (к уравнению Пелля) и изучал бы для поиска целого решения свойства кольца порожденного $\sqrt2$.

Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно и $y =1$,
и значит целого решения нет.

-- Пн ноя 22, 2010 23:59:38 --

VAL в сообщении #379296 писал(а):

сходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$. В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

Нетривиально. И возможно ли без компьютера?
На каком шаге начинается повторение?

[VAL]

Ales в сообщении #379271 писал(а):

neo66 в сообщении #378899 писал(а):

Всем спасибо.
Еще вопрос: Как найти хотя бы одно решение этого уравнения в рациональных числах. Или такого:
$2x^2 - 41y^2 = 1$?

Ищем:
$53*13=a^2 + b^2 $
$53=4+49=(2+7i)(2-7i)$
$13=4+9=(2+3i)(2-3i)$

$53*13=(4-21+20i)(4-21-20i)=20^2+17^2$
Вот и решение:
$x=\frac {17} {20} y=\frac 1 {20}$,
$n=\frac {9} {20} m=\frac {19} {20} $

Насколько я понял, (m, n) это решение уравнения $13m^2-53n^2=1$. А почему же процитировано $2x^2 - 41y^2 = 1$. Для запутывания вероятного противника?
Кстати, для $2x^2 - 41y^2 = 1$ у меня получилось решение $\x=\frac{1553}{3}, \ y=\frac{343}{3}$.

[Ales]

$41=7^2-2*2^2$

-- Вт ноя 23, 2010 00:14:10 --

VAL в сообщении #379319 писал(а):

Для запутывания вероятного противника?

Нет, он вроде бы спросил "этого" про первое, а потом написал "или такого" про второе. Я именно так понял.

-- Вт ноя 23, 2010 00:19:51 --

$2*25-41=9$

решение $\frac 5 3, \frac 1 3$

[VAL]

Ales в сообщении #379305 писал(а):

Я бы так решал уравнение $2x^2 - 41y^2 = 1$:
искал бы представление $41=a^2-2b^2$ (к уравнению Пелля) и изучал бы для поиска целого решения свойства кольца порожденного $\sqrt2$.

Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно

А разве в этом есть какие-то сомнения?
Кольца целых для полей $\mathbb{Q}\left(\sqrt d\right)$ являются евклидовыми лишь для конечного списка подходящих d, но 2 туда входит.

Цитата:

и $y =1$,
и значит целого решения нет.

-- Пн ноя 22, 2010 23:59:38 --

VAL в сообщении #379296 писал(а):

сходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$.

Как Вы меня лихо процитировали! Было "исходное уравнение" стало "сходное"

Цитата:

Цитата:

В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

Нетривиально. И возможно ли без компьютера?

Думаю, да. Но я не пробовал.

Цитата:

На каком шаге начинается повторение?

Возможно Null в курсе.

[Ales]

VAL в сообщении #379353 писал(а):

А разве в этом есть какие-то сомнения?
Кольца целых для полей $\mathbb{Q}\left(\sqrt d\right)$ являются евклидовыми лишь для конечного списка подходящих d, но 2 туда входит.

Значит нет целых решений.

[Null]

41 - не простое. Как вы решили?

про $13m^2-53n^2=1$
подходящие дроби то 13 то -1 дают период 2 $$

[Ales]

Ales в сообщении #379305 писал(а):

Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно и $y =1$,
и значит целого решения нет.

Ales в сообщении #379364 писал(а):

Значит нет целых решений.

Ошибся. Ничего не могу сказать про целые.
Но можно применить тот же метод для уравнения Пелля: домножить на 2 и смотреть подходящие дроби к $\sqrt 82$.

[VAL]

Ales в сообщении #379482 писал(а):

Но можно применить тот же метод для уравнения Пелля: домножить на 2 и смотреть подходящие дроби к $\sqrt 82$.

А можно и не смотреть. Ну не будет там целых решений!

[Батороев]

Здесь были выкладки с ошибкой.