2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.11.2010, 23:39 
Ales в сообщении #379271 писал(а):
VAL в сообщении #379128 писал(а):
То, что в целых оно не разрешимо, давно выяснили. Выше ведь об этом написано.

Не нашел выше доказательства. Как удалось это определить?
Исходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$. В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.11.2010, 23:51 
Я бы так решал уравнение $2x^2 - 41y^2 = 1$:
искал бы представление $41=a^2-2b^2$ (к уравнению Пелля) и изучал бы для поиска целого решения свойства кольца порожденного $\sqrt2$.

Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно и $y =1$,
и значит целого решения нет.

-- Пн ноя 22, 2010 23:59:38 --

VAL в сообщении #379296 писал(а):
сходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$. В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

Нетривиально. И возможно ли без компьютера?
На каком шаге начинается повторение?

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 00:08 
Ales в сообщении #379271 писал(а):
neo66 в сообщении #378899 писал(а):
Всем спасибо.
Еще вопрос: Как найти хотя бы одно решение этого уравнения в рациональных числах. Или такого:
$2x^2 - 41y^2 = 1$?

Ищем:
$53*13=a^2 + b^2 $
$53=4+49=(2+7i)(2-7i)$
$13=4+9=(2+3i)(2-3i)$

$53*13=(4-21+20i)(4-21-20i)=20^2+17^2$
Вот и решение:
$x=\frac {17} {20} y=\frac 1 {20}$,
$n=\frac {9} {20}  m=\frac {19} {20}
$
Насколько я понял, (m, n) это решение уравнения $13m^2-53n^2=1$. А почему же процитировано $2x^2 - 41y^2 = 1$. Для запутывания вероятного противника? :D
Кстати, для $2x^2 - 41y^2 = 1$ у меня получилось решение $\x=\frac{1553}{3}, \ y=\frac{343}{3}$.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 00:10 
$41=7^2-2*2^2$

-- Вт ноя 23, 2010 00:14:10 --

VAL в сообщении #379319 писал(а):
Для запутывания вероятного противника? :D

Нет, он вроде бы спросил "этого" про первое, а потом написал "или такого" про второе. Я именно так понял.

-- Вт ноя 23, 2010 00:19:51 --

$2*25-41=9$

решение $\frac 5 3, \frac 1 3$

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 00:53 
Ales в сообщении #379305 писал(а):
Я бы так решал уравнение $2x^2 - 41y^2 = 1$:
искал бы представление $41=a^2-2b^2$ (к уравнению Пелля) и изучал бы для поиска целого решения свойства кольца порожденного $\sqrt2$.

Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно
А разве в этом есть какие-то сомнения?
Кольца целых для полей $\mathbb{Q}\left(\sqrt d\right)$ являются евклидовыми лишь для конечного списка подходящих d, но 2 туда входит.
Цитата:
и $y =1$,
и значит целого решения нет.

-- Пн ноя 22, 2010 23:59:38 --

VAL в сообщении #379296 писал(а):
сходное уравнение сводится к уравнению $x^2-689y^2=13$.
Как Вы меня лихо процитировали! Было "исходное уравнение" стало "сходное" :D
Цитата:
Цитата:
В ссылке, приведенной ИСН, приведен критерий разрешимости таких уравнений (наше подпадает под случай $|c|<\sqrt D$).

Можно и проще (если лень подходящие дроби вычислять). Достаточно довериться мат. пакету, умеющему решать уравнения такого вида. Maple, например, умеет. Mathematica (а значит и WolframAlpha) - тоже. Не пробовал, но уверен, что и PARI справится.

Нетривиально. И возможно ли без компьютера?
Думаю, да. Но я не пробовал.
Цитата:
На каком шаге начинается повторение?
Возможно Null в курсе.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 01:10 
VAL в сообщении #379353 писал(а):
А разве в этом есть какие-то сомнения?
Кольца целых для полей $\mathbb{Q}\left(\sqrt d\right)$ являются евклидовыми лишь для конечного списка подходящих d, но 2 туда входит.

Значит нет целых решений.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 09:15 
41 - не простое. Как вы решили?

про $13m^2-53n^2=1$
подходящие дроби то 13 то -1 дают период 2 $$

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 13:53 
Ales в сообщении #379305 писал(а):
Если это кольцо главных идеалов, то разложение на простые единственно и $y =1$,
и значит целого решения нет.

Ales в сообщении #379364 писал(а):
Значит нет целых решений.

Ошибся. Ничего не могу сказать про целые.
Но можно применить тот же метод для уравнения Пелля: домножить на 2 и смотреть подходящие дроби к $\sqrt 82$.

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.11.2010, 19:28 
Ales в сообщении #379482 писал(а):
Но можно применить тот же метод для уравнения Пелля: домножить на 2 и смотреть подходящие дроби к $\sqrt 82$.
А можно и не смотреть. Ну не будет там целых решений!

 
 
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение24.11.2010, 11:09 
Здесь были выкладки с ошибкой.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group