Известно (Conway, A course in functional analysis, Proposition VII.4.11), что
Цитата:
Пусть

- унитальная банахова алгебра (над

),

,

, где

- непустые дизъюнктные замкнутые множества. Тогда существует нетривиальный идемпотент

такой, что
а)

б) если

, то

в)

(доказывается с помощью функционального исчисления)
Теперь меня интересует упражнение оттуда же VII.4.9, в котором
Цитата:
Пусть

- банахово пространство,

,

, где

- непустые дизъюнктные замкнутые множества. Тогда существуют топологически дополнительные подпространства

(которые само собой замкнуты), т.е.

, что
a)

b) Если

, то

c) Существует такой изоморфизм

, что

Я доказал a), c); разумеется в качестве

берем образ идемпотента

из предложения выше, в качестве

- ядро. Тогда, как известно, они будут топ. дополнительными и пункты a), c) доказываются с помощью все того же предложения.
В b) довольно легко дойти до

, тут нужно разложить

и

как в пункте c) этого же упражнения.
Но вот дальше проблема с нулевым элементом спектра. Если

обратим, то все показывается легко.
А вот если нет - то непонятно.
Как же показать, что

, при условии что

?