Функан, спектральная проекция

[id]

Известно (Conway, A course in functional analysis, Proposition VII.4.11), что

Цитата:

Пусть $A$ - унитальная банахова алгебра (над $\mathbb C$), $a \in A$, $\sigma(a) = F_1 \cup F_2$, где $F_1,F_2$ - непустые дизъюнктные замкнутые множества. Тогда существует нетривиальный идемпотент $e$ такой, что
а) $ba = ab \Rightarrow be = eb$
б) если $a_1 := ae, a_2 := a(1-e)$, то $a=a_1+a_2, \ a_1 a_2 = a_2 a_1 = 0$
в) $\sigma(a_i) = F_i \cup \{ 0 \}$

(доказывается с помощью функционального исчисления)

Теперь меня интересует упражнение оттуда же VII.4.9, в котором

Цитата:

Пусть $X$ - банахово пространство, $A \in \mathcal B(X)$, $\sigma(A) = F_1 \cup F_2$, где $F_1,F_2$ - непустые дизъюнктные замкнутые множества. Тогда существуют топологически дополнительные подпространства $X_1, X_2 \subset X$ (которые само собой замкнуты), т.е. $X = X_1 \oplus X_2$, что
a) $BA = AB \Rightarrow B X_i \subset X_i$
b) Если $A_i := A|_{X_i}$, то $\sigma(A_i) = F_i$
c) Существует такой изоморфизм $R: X \to X_1 \oplus X_2$, что $R A R^{-1} = A_1 \oplus A_2$

Я доказал a), c); разумеется в качестве $X_1$ берем образ идемпотента $E$ из предложения выше, в качестве $X_2$ - ядро. Тогда, как известно, они будут топ. дополнительными и пункты a), c) доказываются с помощью все того же предложения.
В b) довольно легко дойти до $F_i \setminus \{ 0 \} \subset \sigma(A_i) \subset F_i \cup \{ 0 \}$, тут нужно разложить $AE$ и $A(1-E)$ как в пункте c) этого же упражнения.
Но вот дальше проблема с нулевым элементом спектра. Если $A$ обратим, то все показывается легко.
А вот если нет - то непонятно.

Как же показать, что $0 \in F_i \Leftrightarrow 0 \in \sigma(A_i)$, при условии что $0 \in \sigma(A)$?