2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Миллиард прямых и слон
Сообщение21.11.2010, 14:59 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Эту задачу я придумала сама только что.

На плоскости проведено миллиард прямых. Докажите, что можно нарисовать на этой плоскости слона (в натуральную величину) так, чтобы он не пересекался ни с одной из этих прямых и не задевал ни одну из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение21.11.2010, 15:20 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Если все прямые параллельны - утв. оч-но. Если нет - сущ. две пересек. прямые в точке $O$. Если через эту точку проходят ещё прямые, то выберем наименьший угол. Его стороны пересекает лишь конечное число прямых.
Хотя, в принципе, утв. задачи очевидно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение21.11.2010, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Построим на плоскости бесконечный ряд квадратов $\square\!\square\!\square\!\square\!\square\!\square...$ (в каждый из которых можно поместить слона) так, чтобы ни одна заданная прямая не была параллельна верхней стороне. Каждая из заданных прямых, таким образом, пересекает лишь конечное число квадратов. А так как самих прямых конечное число, то все миллиард прямых пересекают лишь конечное число этих квадратов. Возьмём любой из (бесконечного множества) квадратов, который не пересекает ни одна прямая. В нём и нарисуем слона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 00:30 


21/06/06
1721
Кстати совершенно недавно узнал, что оказывается существует многоугольник (невыпуклый конечно) площадь которого менее 1 квадратного миллиметри, но внутри которого можно провернуть полностью отрезок длиной скажем в один километр. Вот уж действительно - то чего не может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 00:52 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Sasha2 в сообщении #378863 писал(а):
Вот уж действительно - то чего не может быть.

Повернуть вокруг точки, - сомневаюсь. А вот если его ещё перемещать, то получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 01:13 


21/06/06
1721
Нет этот факт действительно имеет место. Он очень хорошо описан в книге Яглома и Болтянского "Выпуклые фигуры".
При этом повернуть можно именно на 360 градусов.
Ну и разумеется тут не о повороте идет дречь, а о провороте. То есть провертываем внутри на 360 градусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 01:47 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Munin в сообщении #378873 писал(а):
Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.

Можно и узкую спираль: и сколько хочешь оборотов делай.

-- Пн ноя 22, 2010 02:48:41 --

Sasha2 в сообщении #378882 писал(а):
Нет этот факт действительно имеет место.

Вы где-то видите кого-то, который чем-то вам противоречит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А мне представляется звезда со множеством узких длинных лучей. Правда, чем уже луч, тем их нужно больше, и ограниченность площади надо строго доказывать.
А ещё можно провернуть отрезок вокруг его оси :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 13:07 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Sasha2 в сообщении #378863 писал(а):
Кстати совершенно недавно узнал, что оказывается существует многоугольник (невыпуклый конечно) площадь которого менее 1 квадратного миллиметри, но внутри которого можно провернуть полностью отрезок длиной скажем в один километр.
См. также статью "О вращении отрезка" ("Квант", 1973, №4). Картинки прилагаются.

Munin
Munin в сообщении #378873 писал(а):
Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.
Не выйдет. Площадь такого кольца $S_{\text{кольца}}\ge\dfrac{\pi l^2}{4}$, где $l$ $\text{---}$ длина отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 19:55 


20/11/10
1
Всё очень просто: Пусть слон занимает площадь X. Если мы не можем нарисовать фигуру в бесконечной плоскости, значит, что эти миллиард прямых занимают всё пространство, а это невозможно, следовательно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Taifoon II в сообщении #379158 писал(а):
значит, что эти миллиард прямых занимают всё пространство

Что значит "занимают всё пространство"? Понятное дело, что всю плоскость они занимать не могут. Но отсюда ещё не следует, что область заданных размеров найдётся. Например, существует даже счётное множество на плоскости такое, что и атома не всунешь, не задев его точек. А точек на прямой больше счётного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение22.11.2010, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EtCetera
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение23.11.2010, 00:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Предлагаю в качестве захвата темы аналогичную задачку (она хоть и не менее банальна, но там для формального обоснования всё-таки придётся произнести энное количество заклинаний).

Итак. Можно ли покрыть всю плоскость конечным набором внутренностей парабол?...

(не важно каких и как расположенных, лишь бы парабол)

 Профиль  
                  
 
 Re: Миллиард прямых и слон
Сообщение23.11.2010, 01:51 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Пусть парабол $n$ штук. Засунем каждую в угол, меньший $\frac{2\pi}{n}$. Тогда плоскость нельзя покрыть даже этими углами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: scwec


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group