Миллиард прямых и слон

[Xenia1996]

Эту задачу я придумала сама только что.

На плоскости проведено миллиард прямых. Докажите, что можно нарисовать на этой плоскости слона (в натуральную величину) так, чтобы он не пересекался ни с одной из этих прямых и не задевал ни одну из них.

[Mathusic]

Если все прямые параллельны - утв. оч-но. Если нет - сущ. две пересек. прямые в точке $O$. Если через эту точку проходят ещё прямые, то выберем наименьший угол. Его стороны пересекает лишь конечное число прямых.
Хотя, в принципе, утв. задачи очевидно

[caxap]

Построим на плоскости бесконечный ряд квадратов $\square\!\square\!\square\!\square\!\square\!\square...$ (в каждый из которых можно поместить слона) так, чтобы ни одна заданная прямая не была параллельна верхней стороне. Каждая из заданных прямых, таким образом, пересекает лишь конечное число квадратов. А так как самих прямых конечное число, то все миллиард прямых пересекают лишь конечное число этих квадратов. Возьмём любой из (бесконечного множества) квадратов, который не пересекает ни одна прямая. В нём и нарисуем слона.

[Sasha2]

Кстати совершенно недавно узнал, что оказывается существует многоугольник (невыпуклый конечно) площадь которого менее 1 квадратного миллиметри, но внутри которого можно провернуть полностью отрезок длиной скажем в один километр. Вот уж действительно - то чего не может быть.

[Mathusic]

Sasha2 в сообщении #378863 писал(а):

Вот уж действительно - то чего не может быть.

Повернуть вокруг точки, - сомневаюсь. А вот если его ещё перемещать, то получится.

[Munin]

Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.

[Sasha2]

Нет этот факт действительно имеет место. Он очень хорошо описан в книге Яглома и Болтянского "Выпуклые фигуры".
При этом повернуть можно именно на 360 градусов.
Ну и разумеется тут не о повороте идет дречь, а о провороте. То есть провертываем внутри на 360 градусов.

[Mathusic]

Munin в сообщении #378873 писал(а):

Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.

Можно и узкую спираль: и сколько хочешь оборотов делай.

-- Пн ноя 22, 2010 02:48:41 --

Sasha2 в сообщении #378882 писал(а):

Нет этот факт действительно имеет место.

Вы где-то видите кого-то, который чем-то вам противоречит?

[gris]

А мне представляется звезда со множеством узких длинных лучей. Правда, чем уже луч, тем их нужно больше, и ограниченность площади надо строго доказывать.
А ещё можно провернуть отрезок вокруг его оси

[EtCetera]

Sasha2 в сообщении #378863 писал(а):

Кстати совершенно недавно узнал, что оказывается существует многоугольник (невыпуклый конечно) площадь которого менее 1 квадратного миллиметри, но внутри которого можно провернуть полностью отрезок длиной скажем в один километр.

См. также статью "О вращении отрезка" ("Квант", 1973, №4). Картинки прилагаются.

Munin

Munin в сообщении #378873 писал(а):

Какое-нибудь очень узкое круговое кольцо большого радиуса.

Не выйдет. Площадь такого кольца $S_{\text{кольца}}\ge\dfrac{\pi l^2}{4}$, где $l$ $\text{---}$ длина отрезка.

[Taifoon II]

Всё очень просто: Пусть слон занимает площадь X. Если мы не можем нарисовать фигуру в бесконечной плоскости, значит, что эти миллиард прямых занимают всё пространство, а это невозможно, следовательно...

[caxap]

Taifoon II в сообщении #379158 писал(а):

значит, что эти миллиард прямых занимают всё пространство

Что значит "занимают всё пространство"? Понятное дело, что всю плоскость они занимать не могут. Но отсюда ещё не следует, что область заданных размеров найдётся. Например, существует даже счётное множество на плоскости такое, что и атома не всунешь, не задев его точек. А точек на прямой больше счётного числа.

[Munin]

EtCetera
Спасибо.

[ewert]

Предлагаю в качестве захвата темы аналогичную задачку (она хоть и не менее банальна, но там для формального обоснования всё-таки придётся произнести энное количество заклинаний).

Итак. Можно ли покрыть всю плоскость конечным набором внутренностей парабол?...

(не важно каких и как расположенных, лишь бы парабол)

[neo66]

Пусть парабол $n$ штук. Засунем каждую в угол, меньший $\frac{2\pi}{n}$. Тогда плоскость нельзя покрыть даже этими углами.