Задача о полугруппах

[feelgood]

1. Привести пример двухэлементной полугруппы, которую нельзя изоморфно вложить в симметрическую полугруппу двухэлементного множества.
2. И доказать, что любая двухэлементная полугруппа вложима в симметрическую полугруппу трехэлементного множества.

Привести пример получилось: множество ({1,2}, *), где для любых a,b из указанного множества a*b=1. Но как формально это доказать? И также формально не могу доказать второй пункт задачи.

Может быть, кто-нибудь поможет?

[radical]

Мне кажется в первом случае можно рассуждать так:
В Вашем примере двухэлементной полугруппы квадраты обоих элементов равны. В симметр
полугруппе \Sigma_2 квадраты равны друг другу только у двух отображений:
тождественного и второй биекции, но они вместе образуют группу, а Ваш пример группой не является, так что его изоморфно вложить в \Sigma_2 нельзя.

Общие рассуждение такие. Если полугруппа с единицей, она вкладывается в "свою" симметрическую полугруппу так же, как группа в симметрическую группу (т.е. через сдвиги).
Если полугруппа без единицы, вкладываем ее в полугруппу с единицей (добавляя к ее множ.-- носителю 1 и доопределив умножение), а дальше как уже было сказано.