Матрицы...

[Утундрий]

Случилось так, что оказался мне не очевиден один вопрос (на самом деле он то очевиден, то снова не очевиден... стабильности нет, в общем), причём до такой степени, что вознамерился я о нём воспросить.

Дана, предположим, квадратная матрица. Вещественная. Её ведь всегда к диагональной форме привести можно, да? Это раз.

Теперь возьмём произведение двух матриц. Вещественных, симметричных. (Одна из них невырождена, если это важно). И каковы будут допустимые жордановы формы означенного произведения? Иначе говоря, могут ли некоторые из жордановых форм, допустимых для произвольной матрицы, оказаться не реализуемыми в случае, когда рассматриваемая матрица есть произведение двух симметричных? Это два.

[Imperator]

К диагональному виду не любую матрицу можно привести. Все зависит от ее собственных значений.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #379304 писал(а):

Дана, предположим, квадратная матрица. Вещественная. Её ведь всегда к диагональной форме привести можно, да? Это раз.

Поправляюсь: симметричная.

[Imperator]

Утундрий в сообщении #379324 писал(а):

Утундрий в сообщении #379304 писал(а):

Дана, предположим, квадратная матрица. Вещественная. Её ведь всегда к диагональной форме привести можно, да? Это раз.

Поправляюсь: симметричная.

Тогда Вы правы.

[Alexey1]

В случае матриц $2 \times 2$ можно подобрать пример, где матрица равная произведению двух симметричных может быть приведена к диагональной. Также, можно подобрать и другой пример,

$$\left(\begin{array}{ll} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{ll} 0 & 1\\ 1 & 1\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{array}\right)$$

.

[Утундрий]

Alexey1 в сообщении #379351 писал(а):

можно подобрать пример, где матрица равная произведению двух симметричных может быть приведена к диагональной

Этого не требуется. Вопрос следующий: какие формы (с точностью до подобия) может принимать произведение двух симметричных вещественных матриц? Если это окажется важным, то одна из матриц невырождена.

[ol_mer]

Не умею быстро набирать матрицы, но если взять матрицу A с единицами на побочной диагонали(остальные нули), и B с $\lambda$ на побочной диагонали и 1 на диагонали под побочной (т.е обобщить пример Alexey1 на случай матриц большей размерности), то можно получить жорданову клетку размера $n$, и, заменяя $\lambda$ на $\lambda_{j}$ и часть единиц в матрице B нулями, можно получить любую дорд форму, если не ошибаюсь

[moscwicz]

Полезно вспомнить ненобходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы $A$ над полем $\mathbb{C}$:

$$A^*A=AA^*$$

Речь идет о матрице линейного оператора. Это стоило уточнить еще топикстартеру.

[ewert]

moscwicz в сообщении #379450 писал(а):

Полезно вспомнить ненобходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы $A$ над полем $\mathbb{C}$:

$$A^*A=AA^*$$

Почему необходимое-то. Да, любая нормальная матрица диагонализуема, но не наоборот же.

[moscwicz]

согласен, туплю,

хотя как посмотреть: если оператор диагонализируем, то он нормален...



при подходящем выборе метрики

[Утундрий]

А если с другого боку: берем матрицу линейного оператора в одной из ж.ф. и пытаемся разложить ея на произведение двух симметричных?

-- Вт ноя 23, 2010 20:51:50 --

Забыл добавить: по отношению к пр. подобия одна матрица дважды ко-, а вторая дважды контравариантна.