уравнение 4-ой степени

[Ketsyki]

$x^4+2x^3-21x^2+\alpha x+\beta=0$

При каких $\alpha$ и $\beta$ корни уравнения образуют арифметическую прогрессию.


Напишем формулу Виета для уравнения 4-ой степени:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-ba$
$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=ca$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-da$
$x_1x_2x_3x_4=ea$

Т.е. в нашем случае сумма корней равна -2
Пусть $k,\ k+n,\ k+2n,\ k+3n$ - корни уравнения, образующие прогрессию,
тогда $n=-\frac{2+4k}{6}$

А вот дальше что сделать?

[paha]

корни легче искать в виде $a\pm p, a\pm 3p$
тогда моментально $4a=-2$

и подбирайте по формулам Виеты свои $p,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

[мат-ламер]

А если у уравнения один или два корня, то можно ли считать, что они (он) образуют арифметическую прогрессию?

[Ketsyki]

мат-ламер в сообщении #379174 писал(а):

А если у уравнения один или два корня, то можно ли считать, что они (он) образуют арифметическую прогрессию?

Если 1 или 2 корня, то, скорее всего, нельзя.

Тут, похоже, имеется ввиду, что корней должно быть именно 4 штуки.

[ИСН]

Хотя смеху ради можно рассмотреть и те случаи: а когда это у него столько корней?
Ответ должен получиться довольно узким.

[Ketsyki]

Я спрашиваю то почему - мне лень в лоб решать :) Считать больно много :)

В лоб посчитал, получил:
$\alpha=-22$
$\beta = 40$

[Ketsyki]

Вобщем, кроме как в лоб, нет способа решить полегче?