Диофантово уравнение

[neo66]

Как узнать, разрешимо ли в целых числах уравнение:
$13m^2 - 53n^2 = 1$?

[ИСН]

Это какое-то обобщение уравнения Пелля. Посмотрите здесь внизу: http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

[Null]

$422^2\cdot 13-209^2 \cdot 53=-1$ похожее(сам подобрал на калькуляторе)
а на $+1$ вольфрам говорит нету.

Что логично, равенство невозможно по модулю $13$.

[VAL]

Null в сообщении #377603 писал(а):

равенство невозможно по модулю $13$.

Это еще почему?! Возьмите $n\equiv5(13)$, а m - любое.

[Null]

да ошибся $13=4*3+1$

-- Сб ноя 20, 2010 00:53:17 --

Можно действовать жестоко: $\frac{m}{n}$- подходящая дробь к $\sqrt{\frac{53}{13}}$, но они не подходят.

[VAL]

Null в сообщении #377608 писал(а):

да ошибся $13=4*3+1$

Конечно! Правда, это не добавляет решений исходному уравнению.

[Sonic86]

Если я не вру, то надо умножить уравнение на 13, а потом решать $(13m)^2-53 \cdot 13 n^2=13$ с помощью методов, изложенных в Боревиче-Шафаревиче (опять же, если не вру, надо будет сначала решить уравнение Пелля $k^2-53 \cdot 13 n^2=1$ и найти одно частное решение уравнения $(13m)^2-53 \cdot 13 n^2=13$. Как-то так, наверное.)

[VAL]

Sonic86 в сообщении #377685 писал(а):

Если я не вру, то надо умножить уравнение на 13, а потом решать $(13m)^2-53 \cdot 13 n^2=13$ с помощью методов, изложенных в Боревиче-Шафаревиче (опять же, если не вру, надо будет сначала решить уравнение Пелля $k^2-53 \cdot 13 n^2=1$ и найти одно частное решение уравнения $(13m)^2-53 \cdot 13 n^2=13$. Как-то так, наверное.)

В принципе так. Только вот решений не будет.
Теорию же (вкратце) можно посмотреть и по ссылке, приведенной ИСН.

[neo66]

Всем спасибо.
Еще вопрос: Как найти хотя бы одно решение этого уравнения в рациональных числах. Или такого:
$2x^2 - 41y^2 = 1$?

[bot]

Или такого никак - по модулю 8 опровержимо.

[neo66]

bot в сообщении #379081 писал(а):

Или такого никак - по модулю 8 опровержимо.

Я просил в рациональных.

[bot]

Дык вроде без разницы

Стоп, беру свои слова назад - и где это я опровержимость для целых увидел? Дальше было бы без разницы по методу спуска.

[Ales]

neo66 в сообщении #377498 писал(а):

Как узнать, разрешимо ли в целых числах уравнение:
$13m^2 - 53n^2 = 1$?

$13*4-53=-1$
$(13m^2 - 53n^2)(13*4-53)= (26m+53n)^2-13*53*(m+2n)^2=$
$=x^2-13*53y^2=- 1$
Это почти уравнение Пелля.
Искать $x$ и $y$, если такие существуют.
Тогда $n=x-26y, m=53y-2x$.

[VAL]

Ales в сообщении #379095 писал(а):

neo66 в сообщении #377498 писал(а):

Как узнать, разрешимо ли в целых числах уравнение:
$13m^2 - 53n^2 = 1$?

$13*4-53=-1$
$(13m^2 - 53n^2)(13*4-53)= (26m+53n)^2-13*53*(m+2n)^2=$
$=x^2-13*53y^2=- 1$
Это почти уравнение Пелля.
Искать $x$ и $y$, если такие существуют.
Тогда $n=x-26y, m=53y-2x$.

То, что в целых оно не разрешимо, давно выяснили. Выше ведь об этом написано.

[Ales]

VAL в сообщении #379128 писал(а):

То, что в целых оно не разрешимо, давно выяснили. Выше ведь об этом написано.

Не нашел выше доказательства. Как удалось это определить?

-- Пн ноя 22, 2010 23:21:52 --

neo66 в сообщении #378899 писал(а):

Всем спасибо.
Еще вопрос: Как найти хотя бы одно решение этого уравнения в рациональных числах. Или такого:
$2x^2 - 41y^2 = 1$?

Ищем:
$53*13=a^2 + b^2 $
$53=4+49=(2+7i)(2-7i)$
$13=4+9=(2+3i)(2-3i)$

$53*13=(4-21+20i)(4-21-20i)=20^2+17^2$
Вот и решение:
$x=\frac {17} {20} y=\frac 1 {20}$,
$n=\frac {9} {20} m=\frac {19} {20} $