определить, лежит ли точка внутри треугольника

[spraux]

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка (x0,y0) лежала внутри треугольника со сторонами $A_1x+B_1y+C_1$, $A_2x+B_2y+C_2=0$ и $A_3x+B_3y+C_3=0$.
Я знаю, что существует способ определения того, что 2 точки лежат в одной либо другой полуплоскости относительно определенной прямой.
Посоветуйте, пожалуйста, где можно посмотреть теоретическую справку по этому способу или напишите здесь.

[ИСН]

А в чём вопрос-то? Ну вот точка, она должна лежать с определённой стороны от первой прямой, с определённой стороны от второй, и с определённой стороны от третьей.

[spraux]

как определить ее положение относительно прямых?(есть способ со знаком при подстановке в какое-то выражение, вот его поясните или ссылку дайте).

[ewert]

spraux в сообщении #373067 писал(а):

Я знаю, что существует способ определения того, что 2 точки лежат в одной либо другой полуплоскости относительно определенной прямой.

Две точки лежат по одну и ту же сторону данной прямой, если при подстановке их координат в уравнение этой прямой получаются числа одного и того же знака.

Найдите три вершины. И проверьте, что каждая из них лежит по ту же сторону от противоположной прямой, что и исходная точка.

[Sasha2]

А можно еще и так наверно:
Для того чтобы данная точка лежала внутри трегольника необходимо и достаточно чтобы все углы, под которыми стороны этого треугольника видны из данной точки были меньше углов, под которыми эти же стороны видны из соответственных им вершин.

[ИСН]

Sasha2, углы - это непомерно дорогая операция по сравнению с парочкой умножений.
spraux, "какое-то" выражение - это как раз то самое, которое Вы трижды написали; в него же (ну, в них) и подставлять.

[spraux]

ewert в сообщении #373073 писал(а):

spraux в сообщении #373067 писал(а):

Я знаю, что существует способ определения того, что 2 точки лежат в одной либо другой полуплоскости относительно определенной прямой.

Две точки лежат по одну и ту же сторону данной прямой, если при подстановке их координат в уравнение этой прямой получаются числа одного и того же знака.

Найдите три вершины. И проверьте, что каждая из них лежит по ту же сторону от противоположной прямой, что и исходная точка.

спасибо, я этот способ и имел ввиду.

[Sasha2]

Понятно, уважаемый ИСН.
Просто хотелось как лучше, а получилось как всегда.

[hurtsy]

ИСН в сообщении #373068 писал(а):

А в чём вопрос-то? Ну вот точка, она должна лежать с определённой стороны от первой прямой, с определённой стороны от второй, и с определённой стороны от третьей.

Имхо, вопрос в том что три точки, о которых вы говорите, еще нужно найти. Топик-стартеру, возможно, требуется выразить критерий через коэфициенты уравнений. С уважением,

[мат-ламер]

Один из способов решения задачи из первого поста. 1) Находим вершины треугольника. 2) Из точки $(x_0,y_0)$ проводим луч (куда-нибудь). 3) Смотрим, сколько сторон треугольника (для этого нужны были вершины) пересекёт луч. 4) Если одну сторону - то точка внутри треугольника. 5) Отдельно аккуратно надо рассмотреть вырожденные случаи, когда луч пройдёт через вершину треугольника. Тогда, вероятно, луч надо немного повернуть.

[Null]

Решение(вроде):
Пусть

$$S=\left|\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}\right| $$

$S_i$ - минор дополняющий $C_i$ с нужным знаком.
Тогда надо чтоб:
$\forall i :S S_i (A_i x_0 +B_i y_0+C_i)>0$

[hurtsy]

Null в сообщении #378690 писал(а):

Решение(вроде):
Пусть

$$S=\left|\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}\right| $$

$S_i$ - минор дополняющий $C_i$ с нужным знаком.
Тогда надо чтоб:
$\forall i :S S_i (A_i x_0 +B_i y_0+C_i)>0$

Из условия задачи (легко видеть) $S=0$. Это напоминание для топик-стартера. Ранг матрицы коэфициентов должен быть равен равен $2$. Но все таки, нужно ли оставшиеся без $S$ три неравенства проверить на "медиацентре"(точка пересечения медиан) треугольника . С уважением,

[Null]

Если $S=0$, то три прямые пересекаются в одной точке и треугольника нет.

[hurtsy]

Null в сообщении #379016 писал(а):

Если $S=0$, то три прямые пересекаются в одной точке и треугольника нет.

У треугольника каждая сторона линейная комбинация двух других(разность векторов). С уважением,

[Null]

$0x+1y-0=0$
$1x+0y-0=0$
$1x+1y-1=0$
- треугольник
$S=1$

(A,B,C) - не вектора сторон.