под какими углами пересекаются кривые

[EvilOrange]

Определить в каких точках и под какими углами пересекаются кривые
y=x^2 и x=y^2
Я отчаянно туплю, но мои, вроде бы верные рассуждения, приводят к заведомо неверному ответу. Позднее, взглянув на эти рассуждения возникли вопросы, их и озвучу.
1. Приравниваем х, получается x^2 - x=0, отсюда x_1=1,x_2=0. Подставляем в функцию (вот тут первая непонятность для меня. первая функция у нас зависит от х, а вторая от y. И куда подставлять? Я, как делали в школе, подставил все заместо х), получаем y_1=1,y_2=0, т.е. точки пересечения (0,0) и (1,1) . График этих функций это подтверждает. То ли все я делал правильно, то ли мне повезло и точки совпали. Но, это похоже на реальность - идем дальше.
2. Под какими углами. Что нужно сделать я знаю. Вроде бы... Нужно найти производную от обеих функций и посчитать её в точке пересечения. Получим тангенсы угла касательной, а по ним определим угол с oсью абсцисс.А там вычтем из большего тангенса меньший и найдем уже угол между касательными. Но вот как это сделать - проблемы.
3. Ищем производные. очередные вопросы. Искать производные по х, или по y? Логика подсказывает, что для функции y=x^2 надо дифференцировать по х, а для x=y^2 - по y. Так и сделаем. Имеем:
y'=2x и x'=2y
подставляем 0 в обе производные, полчаем везде 0. т.е. угол наклона = arctg (0) = 0. Для первой функции это правильно (парабола с вершиной в (0,0) - действительно касательная,которая совпадает с осью абсцисс),а вот для второй
тоже 0... т.е. опять прямая, совпадающая с осью абсцисс.. А на самом деле - вертикальная прямая x=0... Хотя, сейчас в голову пришла безумная идея, что раз мы дифференцировали по y, то и угол наклона надо с y сравнивать, а не с x... но это пока идея...

[ИСН]

EvilOrange в сообщении #378808 писал(а):

Определить в каких точках и под какими углами пересекаются прямые

Прямые?

[EvilOrange]

ИСН
кривые, просто думал в тот момент о касательных...

[ИСН]

Ну так выразите обе кривые как функции от x, и безумные идеи отпадут за ненадобностью.

[ewert]

EvilOrange в сообщении #378808 писал(а):

И куда подставлять?

Что куда хотите -- то туда и подставляйте. Ваше дело маленькое -- прокукарекать, а там хоть не рассветай. Ну получили точки, ну ладно.

EvilOrange в сообщении #378808 писал(а):

Искать производные по х, или по y?

По чему хотите, по тому и считайте. Лишь бы по одному, чтоб потом вставить в единую формулу.

EvilOrange в сообщении #378808 писал(а):

А там вычтем из большего тангенса меньший и найдем уже угол между касательными. Но вот как это сделать - проблемы.

А вот это уже -- криминал. Вычитать положено вовсе не тангенсы, а сами углы. Для тангенса разности формула известна (ну в смысле обязана быть известна), и тангенсы каждого из углов -- тоже известна.

(с началом координат -- отдельная проблема, но это уж -- потом, потом, потом... Сперва освойте стандартную технику.)

[EvilOrange]

Ну, так и хотелось сделать. Но есть два НО:
1. Первая мысль выразить y=x^2, какy=\sqrt x. но тогда это становится уже не той, функцией, которая была исходной. исходная была обычная парабола повернутая на 90 градусов вправо, а тут просто половинка параболы.
2. А если на экзамене попадется задачка, в которой нельзя будет атк просто выразить? Можно же ведь как-то решить эту задачу просто дифференцирую по разным переменным?..

[ewert]

EvilOrange в сообщении #378823 писал(а):

а тут просто половинка параболы.

Вот когда столкнётесь с подобной проблемой -- тогда и перебирайте варианты (причём обязательно). Хотя, маленько поразмысливши, с меня слетела шляпа в данном случае вариант только один и вполне очевидный.

EvilOrange в сообщении #378823 писал(а):

А если на экзамене попадется задачка, в которой нельзя будет атк просто выразить?

Тогда и думайте, какой конкретно вариант действий адекватен какой конкретно постановке задачи. Вы как та сороконожка, ей-богу.

[EvilOrange]

ewert в сообщении #378821 писал(а):

По чему хотите, по тому и считайте. Лишь бы по одному, чтоб потом вставить в единую формулу.

хм... Тогда вопрос немного не в тему, но:
А как тогда посчитать производную x^2=y. Меня вот смущает, что функция сама в квадрате... Хотя... Получается, если например обе по x посчиать, то для y=x^2 производная равна $f'_x(y)=2x$
а для x=y^2 получается, что если дифференцируем по x, то в левой части будет 1, а в правой 0... т.е. 1=0. Хм, тут опять криминалом попахивает, но получается, что так делать нельзя. А арктангенс для "так делать нельзя" - это pi/2 ... Я совсем безнадежен?..

Цитата:

в данном случае вариант только один и вполне очевидный.

Ну, для двух функций вида y="что-то там" тоже для меня все вполне очевидно... а тут... в одной игре зависит от икс, во второй икс от игрек... Чего-то совсем запутался...

[Алексей К.]

Ежели Вы ещё не научились работать с кривыми, не являющимися графиками функций, как $y^2=x$, то Вам ничего не мешает рассмотреть эту кривую как два графика двух функций:
$y=+\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$.

А ещё можно подумать о симметрии, глянуть на прямую $y=x$, сосчитать угол пересечения той другой (хорошей) параболы с этой прямой и потом его из-за симметрии обоснованно удвоить.

Об угле в начале координат я как бы даже не заикаюсь.

[VAL]

ewert в сообщении #378821 писал(а):

(с началом координат -- отдельная проблема, но это уж -- потом, потом, потом... Сперва освойте стандартную технику.)

А я бы, как раз, начинал с этого случая, как наиболее очевидного, решаемого без всякой (стандартной и нестандартной) техники. Парабола $y=x^2$ касается в начале координат оси абсцисс, парабола $x=y^2$ касается в начале координат оси ординат. Осталось выяснить, под каким углом пересекаются оси координат.

(Оффтоп)

Кстати, а под каким? В условии об этом ничего нет

[Dan B-Yallay]

EvilOrange писал(а):

А как тогда посчитать производную x^2=y. Меня вот смущает, что функция сама в квадрате... Хотя... Получается, если например обе по x посчиать, то для y=x^2 производная равна $f'_x(y)=2x$
а для x=y^2 получается, что если дифференцируем по x, то в левой части будет 1, а в правой 0... т.е. 1=0. Хм, тут опять криминалом попахивает, но получается, что так делать нельзя.... Я совсем безнадежен?...

Дифференцирование неявно заданных функций давно проходили?

$$\dfrac d {dx}: x=y^2 \ \to \ 1=2 y \cdot y'} \qquad \Rightarrow \qquad y' = 1/2y$$

[EvilOrange]

Dan B-Yallay в сообщении #379295 писал(а):

EvilOrange писал(а):

А как тогда посчитать производную x^2=y. Меня вот смущает, что функция сама в квадрате... Хотя... Получается, если например обе по x посчиать, то для y=x^2 производная равна $f'_x(y)=2x$
а для x=y^2 получается, что если дифференцируем по x, то в левой части будет 1, а в правой 0... т.е. 1=0. Хм, тут опять криминалом попахивает, но получается, что так делать нельзя.... Я совсем безнадежен?...

Дифференцирование неявно заданных функций давно проходили? $\dfrac d {dx}: x=y^2 \ \to \ 1=2 y \cdot y'} \qquad \Rightarrow \qquad y' = 1/2y$

Да вроде не припомню такого... Сейчас посмотрел в интернете, написано,что функция
F(x,y) = 0
Частные производные по х и у непрерывно в окрестности некоторой точки x_0,y_0
F'_y!=0
Не припоминаю, чтобы мы это проходили -_-

[Dan B-Yallay]

А дифференцирование сложной функции?

$$ F(g(x))$$

[EvilOrange]

А это месяца полтора назад =)
Это
$F(g(x)) = F'(g) * g'(x)$
т.е. например (sin(x^2) = 2x * cos(x^2) ?
А Вот из предыдущего поста Вашего картинка не прогрузилась сразу просто, сейчас только увидел.
$\dfrac d {dx}: x=y^2 \ \to \ 1=2 y \cdot y'} \qquad \Rightarrow \qquad y' = 1/2y$

Вот тут вот не пойму... Мы дифференцируем \dfrac d {dx}: x=y^2 по х? производная от х = 1, а вот дальше... Тут сейчас чувствуется пробел в теории, но вот как тут из y^2 получилось 2y* y' ?
И если 2y вроде понятно откуда взялось (хотя дифференцируем-то по х ) , то вот откуда появилась еще y' - решительно непонятно -_- Это где про это почитать можно?

[Dan B-Yallay]

$$x= \big[y(x)\big]^2$$

Просто функция $y(x)$ не задана в явном виде. Так понятнее?

По видимому Вам будет проще все же просто рассмотреть две ветки

$$x=\sqrt y, \quad x=-\sqrt y$$

Как и советовал Алексей К.