Комплексное уравнение

[Hitp]

Надо найти все решения $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaCa % aaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiGacogacaGGVbGaai4Camaalaaa % baGaeqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkcaWGPbGaci4CaiaacMgaca % GGUbWaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiabg2da9iaaicdaaaa!4722! \[{z^3} + \cos \frac{\pi }{8} + i\sin \frac{\pi }{8} = 0\]$.
Мое решение было такое:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaCa % aaleqabaGaaG4maaaakiabg2da9iabgkHiTiaadwgadaahaaWcbeqa % aiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiabgUcaRi % aaikdacqaHapaCcaWGRbGaaiykaaaaaaa!4412! \[{z^3} = - {e^{i(\frac{\pi }{8} + 2\pi k)}}\]$
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2 % da9iabgkHiTiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaa % cqaHapaCaeaacaaIYaGaaGinaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaikdaae % aacaaIZaaaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!44A3! \[z = - {e^{i(\frac{\pi }{{24}} + \frac{2}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2.
Мне сказали, что это еще можно решить представив экспоненту(начиная с первой) в тригонометрической форме и каким-то образом убрать минус. Но ведь из $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0Iaai % ikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaa % iIdaaaGaaiykaiabgUcaRiaadMgaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOa % WaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiaacMcacaGGPaaaaa!4785! \[ - (\cos (\frac{\pi }{8}) + i\sin (\frac{\pi }{8}))\]$ нельзя извлечь корень.
Как это можно решить через триг форму?

[Sonic86]

Решение вроде как правильное.

Hitp писал(а):

Как это можно решить через триг форму?

Попробуйте $-1$ представить в тригонометрической форме и потом еще чуть-чуть подумать

Hitp писал(а):

Но ведь из $-(\cos(\frac{\pi}{8})+i\sin(\frac{\pi}{8}))$ нельзя извлечь корень.

можно

(Оффтоп)

где Вы такие страшные формулы берете?

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0IaaG % ymaiabg2da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaGaeqiWdaNa % ey4kaSIaaGOmaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!4208! \[ - 1 = {e^{i(\pi + 2\pi k)}}\]$ , тогда
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0Iaam % yzamaaCaaaleqabaGaamyAaiaacIcadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaa % iIdaaaGaey4kaSIaaGOmaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!4119! \[ - {e^{i(\frac{\pi }{8} + 2\pi k)}}\]$=$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzamaaCa % aaleqabaGaamyAaiaacIcadaWcaaqaaiaaiMdacqaHapaCaeaacaaI % 4aaaaiabgUcaRiaaisdacqaHapaCcaWGRbGaaiykaaaaaaa!40F1! \[{e^{i(\frac{{9\pi }}{8} + 4\pi k)}}\]$
и $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2 % da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacaaIZaGa % eqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaisdaaeaacaaIZa % aaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!43BD! \[z = {e^{i(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{4}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2,3.
Вот так?

[ИСН]

Откуда 4?

[Hitp]

4 получается при умножении -1 в виде эксп на экспоненту. Если -1 брать без периода будет 2.

[ИСН]

Ага, я что-то в этом роде и подозревал. Видите, как бы это сказать... Что такое это k? Чему оно равно?

[Hitp]

k целое число.
Да, смысла писать 4k,наверное, нет

[ИСН]

Так, уже лучше, а что есть смысл писать вместо этого?

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2 % da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacaaIZaGa % eqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaikdaaeaacaaIZa % aaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!43BB! \[z = {e^{i(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{2}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2.

[ИСН]

ну вот, почти совсем хорошо. Теперь: почему 3/8-то?

[ewert]

ИСН в сообщении #377851 писал(а):

Теперь: почему 3/8-то?

${1\over24}+{1\over3}={3\over8}$

(в том смысле, что уж это-то автор явно знает)

[ИСН]

Ах, там минус нечто, а мне вдруг показалось, что единица делить на это.
Тогда вроде всё.