2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 14:01 
Надо найти все решения $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaCa
% aaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiGacogacaGGVbGaai4Camaalaaa
% baGaeqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkcaWGPbGaci4CaiaacMgaca
% GGUbWaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiabg2da9iaaicdaaaa!4722!
\[{z^3} + \cos \frac{\pi }{8} + i\sin \frac{\pi }{8} = 0\]$.
Мое решение было такое:
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEamaaCa
% aaleqabaGaaG4maaaakiabg2da9iabgkHiTiaadwgadaahaaWcbeqa
% aiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiabgUcaRi
% aaikdacqaHapaCcaWGRbGaaiykaaaaaaa!4412!
\[{z^3} =  - {e^{i(\frac{\pi }{8} + 2\pi k)}}\]$
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2
% da9iabgkHiTiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaa
% cqaHapaCaeaacaaIYaGaaGinaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaikdaae
% aacaaIZaaaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!44A3!
\[z =  - {e^{i(\frac{\pi }{{24}} + \frac{2}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2.
Мне сказали, что это еще можно решить представив экспоненту(начиная с первой) в тригонометрической форме и каким-то образом убрать минус. Но ведь из $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0Iaai
% ikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaa
% iIdaaaGaaiykaiabgUcaRiaadMgaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOa
% WaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI4aaaaiaacMcacaGGPaaaaa!4785!
\[ - (\cos (\frac{\pi }{8}) + i\sin (\frac{\pi }{8}))\]$ нельзя извлечь корень.
Как это можно решить через триг форму?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 14:13 
Решение вроде как правильное.
Hitp писал(а):
Как это можно решить через триг форму?

Попробуйте $-1$ представить в тригонометрической форме и потом еще чуть-чуть подумать
Hitp писал(а):
Но ведь из $-(\cos(\frac{\pi}{8})+i\sin(\frac{\pi}{8}))$ нельзя извлечь корень.

можно

(Оффтоп)

где Вы такие страшные формулы берете? :shock:

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 14:36 
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0IaaG
% ymaiabg2da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaGaeqiWdaNa
% ey4kaSIaaGOmaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!4208!
\[ - 1 = {e^{i(\pi  + 2\pi k)}}\]$ , тогда
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0Iaam
% yzamaaCaaaleqabaGaamyAaiaacIcadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaa
% iIdaaaGaey4kaSIaaGOmaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!4119!
\[ - {e^{i(\frac{\pi }{8} + 2\pi k)}}\]$=$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzamaaCa
% aaleqabaGaamyAaiaacIcadaWcaaqaaiaaiMdacqaHapaCaeaacaaI
% 4aaaaiabgUcaRiaaisdacqaHapaCcaWGRbGaaiykaaaaaaa!40F1!
\[{e^{i(\frac{{9\pi }}{8} + 4\pi k)}}\]$
и $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2
% da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacaaIZaGa
% eqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaisdaaeaacaaIZa
% aaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!43BD!
\[z = {e^{i(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{4}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2,3.
Вот так?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 16:48 
Аватара пользователя
Откуда 4?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 17:11 
4 получается при умножении -1 в виде эксп на экспоненту. Если -1 брать без периода будет 2.

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 17:15 
Аватара пользователя
Ага, я что-то в этом роде и подозревал. Видите, как бы это сказать... Что такое это k? Чему оно равно?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:01 
k целое число.
Да, смысла писать 4k,наверное, нет

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:09 
Аватара пользователя
Так, уже лучше, а что есть смысл писать вместо этого?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:20 
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2
% da9iaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaGGOaWaaSaaaeaacaaIZaGa
% eqiWdahabaGaaGioaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaikdaaeaacaaIZa
% aaaiabec8aWjaadUgacaGGPaaaaaaa!43BB!
\[z = {e^{i(\frac{{3\pi }}{8} + \frac{2}{3}\pi k)}}\]$ k=0,1,2.

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:25 
Аватара пользователя
ну вот, почти совсем хорошо. Теперь: почему 3/8-то?

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:30 
ИСН в сообщении #377851 писал(а):
Теперь: почему 3/8-то?

${1\over24}+{1\over3}={3\over8}$

(в том смысле, что уж это-то автор явно знает)

 
 
 
 Re: Комплексное уравнение
Сообщение20.11.2010, 18:34 
Аватара пользователя
Ах, там минус нечто, а мне вдруг показалось, что единица делить на это.
Тогда вроде всё.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group