Вычисление моментов инерции для различных тел.

[The Last Samurai]

На семинаре показывали как вычислять для стержня, пластины, диска.В каждом случае свои нюансы.С понятием линейной плотности для стержня и пластины разобрался.Но все равно возник вопрос-вот мы записали,что $\gamma=M/S$.Ищем момент инерции прямоугольной пластины со сторонами a и b относительно оси х,параллельной большей стороне а и проходящий через центр симметрии тела, итого получаем,что I=$\int_{-b/2}^{b/2} a*\gamma*y^2*dy$ .Вопрос- откуда в интеграле взялся множитель a?Потом совсем непонятно как вычислять для обруча.Ясно,что там дифференцировать будем по углу,что $ dI=dm(r\sin(\varphi))^2$,а что дальше? как там быть с линейной плотностью? вычислить нужно для оси,проходящей через диаметр и через центр,перпендикулярно плоскости.Единственно догодался,что $\varphi$ в первом случае будет меняться от 0 до 180, а во втором от 0 до 360. Так же нужно найти момент инерции однородного шара и тонкого сферического слоя ( как будто вся масса сосредоточена на расстоянии К от оси.

[Парджеттер]

Тема перемещена в в Карантин по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math];

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом либо при помощи личного сообщения модератору, либо в теме Сообщение в карантине исправлено.
Рекомендую прочитать тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и правила научного форума.

[Парджеттер]

Возвращено после исправления

Кстати, на будущее рекомендация - не стоит использовать звездочки в качестве знака умножения, ни к чему это. Смотрите как без них аккуратно выглядит

$$I=\int_{-b/2}^{b/2} a \gamma y^2 dy$$

А с ними как-то совсем нехорошо:

$$I=\int_{-b/2}^{b/2} a*\gamma*y^2*dy$$

Это, а также окружение формулы долларами не полностью (как у Вас с этой) у нас карается суровыми мерами. Но я полагаю, что этого маленького экскурса было достаточно для Вас.

[Bulinator]

The Last Samurai
момент инерции материальной точки есть $mr^2$, где $m$ ее масса а $r$ расстояние от оси, относительно которой собственно этот момент и считается. Теперь, для пластины, есстественно все считать в декартовых координатах $x,y$.

Разбейте пластину на маленькие квадратики со сторонами $dx, dy$. Масса этих квадратиков, очевидно, будет равна $\gamma dx dy$.

Расстояние квадратика от оси $x$ есть $y$. Запишем момент инерции одного из них:
$\gamma y^2 dx dy$.

Момент всей пластины будет равен сумме моментов этих квадратиков,т.е. интегралу
$I=\int\limits_{-a/2}^{a/2}\int\limits_{-b/2}^{b/2}\gamma y^2 dx dy$
Т.к. подинтегральное выражение от $x$ не зависит, по нему сразу интегрируем и выскакивает $a$ о котором Вы спрашивали.


Так же для обруча, только в этом случае расчеты легче проводить в полярных координатах $r,\varphi$

[ewert]

Про обруч совсем не понял. Естественно, любую задачу разумно приводить к по возможности симметричной. Для обруча момент относительно оси, проходящей через центр, тривиален. И есть общеизвестная теорема Штейнера о том, что при смещении оси на расстояние $d$ относительно центра масс момент инерции увеличивается на $md^2$.

[The Last Samurai]

извините,а можете расписать решение вашего интеграла? я двойные еще не умею брать.Вообще я так понимаю несколько способов существует? в зависимости от того как мы представляем себе элементарную массу- н-р длинными бесконечно узкими полосками или квадратиками.