Идемпотентные матрицы, неравенства

[ol_mer]

Не подскажет ли кто-нибудь, где можно найти что-нибудь касательно матричных неравенств для идемпотентных матриц?
Интересует что-то вроде $||(P-\tau S)^{n} ||_{2}< const $, где P - идемпотентная.
Заранее спасибо.

P.S. Норма не латеховская, не помню, как она там правильно набирается, не будьте придирчивы.

[ol_mer]

ап

[ewert]

ol_mer в сообщении #377266 писал(а):

ап

Ибо вопрос непонятен. С какой стати там константа, пока про тау и Эс ничего не сказано?...

(а норма, в принципе, и так сойдёт для сельской местности, хотя в приличном опчестве набивать её принято как $\|$)

[paha]

(Оффтоп)

$\tau$ Кита знаю как песню... тау С не знаю:((

[ol_mer]

$S$ - некоторая матрица, tau - малый параметр. Теперь стало яснее? (Не верю)
Я лишь интересуюсь, где можно найти такого рода неравенства для матриц $P$, таких что $P^{2}=P$
(неявно вопрос предполагает, что понадобятся какие-то условия на $P$ и(или) на $S$ )

[moscwicz]

ol_mer в сообщении #377486 писал(а):

С - некоторая матрица, tau - малый параметр. Теперь стало яснее? (Не верю)

Вам бы сперва научиться хотя бы вопросы корректно формулировать

ol_mer в сообщении #376181 писал(а):

вроде $||(P-\tau S)^{n} ||_{2}< const $, где P - идемпотентная.

а неравенство это чепуха, просто возьмите $P=0$ и $S=2/\tau$ как по-вашему, верно, что $2^n<const$?

[paha]

moscwicz в сообщении #377489 писал(а):

$S=2/\tau$

moscwicz
имел ввиду $\frac{2}{\tau}E$, где $E$ -- единичная матрица соответствующего формата... понятно?

[ol_mer]

Понятно, что я совершил две ошибки - первую в тот момент, когда писал первое сообщение, действительно, плохо сформулировал; вторую, когда думал, что тут люди не будут выпендриваться так.

Для особо одаренных скажу, что $S$ - постоянная матрица и попрошу их же перечитать вопрос - меня интересуют условия, которые надо наложить на матрицы, чтобы неравенство было верно (если параметр вам мешает, моно его вообще убрать)
А гениальные соображения про то, что оно не всегда верно, оставьте для школьников.

P.S. $\| P \| > 1$ (для тех, кто все же желает сказать что-то, что могло бы помочь)

[paha]

ol_mer в сообщении #377515 писал(а):

вторую, когда думал, что тут люди не будут выпендриваться так

вроде как второй ошибки не было:) Вы ж не на форум телепатов зашли

moscwicz
совершенно четкий привел пример с матрицей $S$, удовлетворяющей Вашему условию -- постоянной

ol_mer в сообщении #377515 писал(а):

Для особо одаренных скажу, что $S$ - постоянная матрица

я правильно понимаю, что Вы, как особо одаренный, имели ввиду такую задачу: описать множество идемпотентных матриц $P\in \mathcal{M} (S, C)$ для которых справедливы неравенства

$$ \|P\|> 1,\quad\|P-S\|^n_2<C\, \forall n\in \mathbb{N} $$

да?

[ewert]

ol_mer в сообщении #377515 писал(а):

P.S. $\| P \| > 1$ (для тех, кто все же желает сказать что-то, что могло бы помочь)

Непонятно, что полезного может дать это ограничение.

Индемпотентная матрица подобна некоторому ортопроектору. Ну например, достаточно, чтобы матрица $S$ в новом базисе оказалась эрмитовой, неотрицательной и то подпространство, на которое ортопроектор переводит, было для неё приводящим. (Т.е. при всех малых тау достаточно, конечно.)

[ol_mer]

ewert в сообщении #377676 писал(а):

ol_mer в сообщении #377515 писал(а):

P.S. $\| P \|_2 > 1$ (для тех, кто все же желает сказать что-то, что могло бы помочь)

Непонятно, что полезного может дать это ограничение.

Это отсекает возможность предложить варианты типа $\| P - \tau S\|^{n}_2 < (\| P \|_2 + \tau \|S\|_2)^{n} < 1$ при достаточно малых $\tau$, например.

ewert в сообщении #377676 писал(а):

Индемпотентная матрица подобна некоторому ортопроектору. Ну например, достаточно, чтобы матрица в новом базисе оказалась эрмитовой, неотрицательной и то подпространство, на которое ортопроектор переводит, было для неё приводящим. (Т.е. при всех малых тау достаточно, конечно.)

Как вариант - отлично, но вряд ли проверямо в моем случае, и я почти уверен, что S не удовлетворяет этому.

paha в сообщении #377585 писал(а):

я правильно понимаю, что Вы, как особо одаренный, имели ввиду такую задачу: описать множество идемпотентных матриц $P\in \mathcal{M} (S, C)$ для которых справедливы неравенства

$$ \|P\|_2> 1,\quad\|P-S\|^n_2<C\, \forall n\in \mathbb{N} $$

да?

Нет, меня интересует множество $(P,S,\tau)$ для которых это неравенство верно с некоторой константой $C$, не зависящей от $P, S, \tau, n $ и размерности матриц.

Повторю вопрос из первого сообщения -

ol_mer в сообщении #376181 писал(а):

Не подскажет ли кто-нибудь, где можно найти что-нибудь касательно матричных неравенств для идемпотентных матриц?

(желательно, касательно не самых тривиальных)

[ewert]

ol_mer в сообщении #377681 писал(а):

Это отсекает возможность предложить варианты типа $\| P - \tau S\|^{n}_2 < (\| P \|_2 + \tau \|S\|_2)^{n} < 1$ при достаточно малых $\tau$, например.

Этот вариант в любом случае отсекается, т.к. $\|P\|\geqslant1$ заведомо и даже не важно, в какой норме.

[ol_mer]

Да, конечно, но приведенный выше пример с $P=0$ я не хотел бы увидеть еще раз, один чересчур внимательный человек уже нашелся.

[moscwicz]

ewert в сообщении #377683 писал(а):

т.к. $\|P\|\geqslant1$ заведомо и даже не важно, в какой норме

при всем уважении к Вашему педагогическому стажу, это не "заведомо" и очень даже зависит от нормы, ибо вместо нормы $\|\cdot\|$, всегда можно ввести норму

$$\|\cdot\|'=\frac{1}{2\|P\|}\|\cdot\|$$

и тогда $\|P\|'=1/2$

[ewert]

Нельзя, ибо норма матрицы -- операторная.