Середина каждой стороны выпуклого n-угольника (
) соединена отрезками с серединами двух ближайших к этой стороне несмежных с нею сторон. Середины указанных отрезков являются вершинами некоторого нового n-угольника. Докажите, что в исходном n-угольнике найдутся n диагоналей, сумма длин которых ровно в 4 раза больше периметра нового n-угольника.
Для n>5 это нетрудно доказать с помощью следующей теоремы - Отрезок, соединяющий середины двух отрезков, соединяющих середины двух разных, несмежных сторон пятиугольника, равен одной четверти и параллелен пятой стороне пятиугольника. (Доказывается через понятие средней линии треугольника и теорему Вариньона)
Как быть для n=5. Там сумма сторон нового пятиугольника равна четвертой части сторон исходного пятиугольника, и там всего 5 диагоналей сумма длин которых явно больше суммы сторон исходного пятиугольника
