Снова геометрия)

[Andrey173]

Середина каждой стороны выпуклого n-угольника ($n>4, n\ne8$) соединена отрезками с серединами двух ближайших к этой стороне несмежных с нею сторон. Середины указанных отрезков являются вершинами некоторого нового n-угольника. Докажите, что в исходном n-угольнике найдутся n диагоналей, сумма длин которых ровно в 4 раза больше периметра нового n-угольника.
Для n>5 это нетрудно доказать с помощью следующей теоремы - Отрезок, соединяющий середины двух отрезков, соединяющих середины двух разных, несмежных сторон пятиугольника, равен одной четверти и параллелен пятой стороне пятиугольника. (Доказывается через понятие средней линии треугольника и теорему Вариньона)
Как быть для n=5. Там сумма сторон нового пятиугольника равна четвертой части сторон исходного пятиугольника, и там всего 5 диагоналей сумма длин которых явно больше суммы сторон исходного пятиугольника

[Bulinator]

(Оффтоп)

Andrey173 в сообщении #376079 писал(а):

n!=8

мдя... смотрел на формулу пол минуты, пока дошло, что это NOT

[Andrey173]

(Оффтоп)

На факториал маленько похоже...

[Sasha2]

А Вы точно уверены, что в условии нет ошибки.
Ведь, например в правильном пятиугольнике имеется ровно пять равных диагоналей, каждая из которых ровно в два раза больше каждой из равных сторон вписанного в него пятиугольника.
Может быть тогда не в четыре раза больше, а в два?

[Andrey173]

Нет там все правильно. Там не просто вписанный пятиугольник.Сначала соединяем середины двух ближайших несмежных сторон, а потом на серединах этих отрезков строим многоугольник.