Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто

[Brukvalub]

Чтобы понять сказанное RIP-ом, попробуйте взять точку (1;1;1;...) , которая, очевидно, лежит в$l_\infty \ $ и найти ее образ при действии рассматриваемого Вами отображения, а затем проверить, лежит ли этот образ в $l_1$ .

[Ulya]

Хм.А в общем случае как доказать? (без 1).
Может так доказать.По определению непрерывности функции $f$ для любой последовательности ${x_k}_{k=1}^n$,сходящейся к $x$,$f(x_n) -> f(x)$.
В $l_{\infty}$ выберем сходящуюся последовательность ${x_k}_{k=1}^n$ (которая сходится к $t$) и покажем,что $f(x_k)$не сходится к $f(t)$ да и вообще
не имеет предела.Говорят,что последовательность $f(x_k)$ сходится к $f(x)$ в метрическом пространстве с метрикой $r_2$,если
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } r_2 (f(x_n ),f(x) = 0$.Получаем в $l_1$:...

[wadzim]

Ulya писал(а):

Пусть $y_n \in F(A)$-сходящаяся последовательность.А если в F(A) взять последовательность,которая не сходится!

Зачем нам брать не сходящуюся последовательность? Нам ведь надо показать замкнутость!

Цитата:

y=f(x) - а разве отсюда следует,что $y \in F(A)$

Следует, т.к. x \in A, потому что x является пределом сходящейся подпоследовательности x_n__k.

[Ulya]

wadzim спасибо.Я поняла.
Меня сейчас вторая задача волнует!

[Ulya]

Можно все-таки единую суть доказательства предложить?

[Brukvalub]

После того, как обнаружено, что отображение определено далеко не во всех точках множества $l_\infty \ $, задача в исходной постановке просто потеряла смысл (то есть приобрела вид, изоморфный требованию: пойти туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что) , поэтому пока не надо ничего доказывать, а нужно подойти к преподавателю, показать ему некорректность условия и попросить его уточнить постановку задачи.

[RIP]

Ulya, в определении непрерывности
во-первых требуется, чтобы функция была определена в окрестнности точки. Про это не надо забывать. Впрочем, если говорить про непрерывность функции по ее множеству определения, то ее тоже нету примерно по тем же соображениям, по которым функция не определена в окрестности.

[Ulya]

Ух.
Т.е. в принципе вот таким должно быть д-во:
$x=(1,1,...,1,...) \in l_{\infty}$,т.к. $1<2$.Тогда $f(x) = \left( {1,\frac{1}{2}, \ldots ,\frac{1}{n}, \ldots } \right) \notin l_1$,т.к.
$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k}} = \infty $.
По определению отображения всякому элементу из $l_{\infty}$ ставится в соответствии единственный элемент из $l_1$ по некоему правилу (в данному случае по правилу $f(x)$).
Но,показано,что существует элемент из $l_{\infty}$,образ которого не лежит в $l_1$.
Значит,отображение задано некорректно и о никакой непрерывности речи идти не может.

Или это рассуждение надо как-то обобщить?Подскажите,please!

[Brukvalub]

Все более-менее нормально, никаких существенных добавлений не требуется.

[Ulya]

Я очень рада.
Ну и последнее.Правильно ли я сделала:
Найти $\left\| F \right\|$,где $F:l_1 \to R$,$F(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{x_k }}{{2^k }}} ,\quad \left\| x \right\| = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} $.
Решение:по определению $\left\| F \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left| {F(x)} \right|$.
Далее $\left| {F(x)} \right| = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {x_k } \right|}}{{2^k }}} \le \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2^k }}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} = \left\| x \right\|$.
Значит $\left\| F \right\| = 1$.

[RIP]

Во-первых, $|F(x)|\leqslant$..., во-вторых, Вы доказали, что
$\|F\|\leqslant1$(на самом деле $\|F\|=1/2$, Вы слишком грубо оценили.)
Не надо забывать, что показать нер-во $|F(x)|\leqslant C\cdot\|x\|$ недостаточно, чтобы утверждать, что $\|F\|=C$. Надо ещё доказать, что константу C уменьшить нельзя.

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

Я очень рада.
Ну и последнее.Правильно ли я сделала:
Найти $\left\| F \right\|$,где $F:l_1 \to R$,$F(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{x_k }}{{2^k }}} ,\quad \left\| x \right\| = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} $.
Решение:по определению $\left\| F \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left| {F(x)} \right|$.
Далее $\left| {F(x)} \right| = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {x_k } \right|}}{{2^k }}} \le \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2^k }}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} = \left\| x \right\|$.
Значит $\left\| F \right\| = 1$.

Нет, неверно, это доказывает лишь неравенство $\left\| F \right\|\le\ 1$. Например, неравенство $\left| {F(x)} \right| = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {x_k } \right|}}{{2^k }}} \le \ \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} = \frac{1}{2} \cdot \left\| x \right\|$ показывает. что норма этого оператора не превосходит $\frac{1}{2}$.

[Ulya]

Вот так значит получается:

$$\left| {F(x)} \right| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {x^k } \right|}}{{2^k }}} \le \frac{1}{2}\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2^k }}} \cdot \left\| x \right\| = \frac{{\left\| x \right\|}}{2}$$

Значит,$\left\| F \right\| = \frac{1}{2}$.
А вот почему оценку нельзя улучшить? (т.е. константу C)?

[Brukvalub]

Правильный вопрос !, на который Вы сами должны были ответить,ну. да ладно..Примените отображение к последовательности (1; 0; 0; 0;...) и вычислите норму образа - этот пример докажет неулучшаемость оценки.

[Ulya]

Цитата:

Примените отображение к последовательности (1; 0; 0; 0;...) и вычислите норму образа - этот пример докажет неулучшаемость оценки.

А почему именно такой пример?!!!