Безопорное перемещение

[Munin]

ButovSV
Вы ещё внятно на post38375.html#p38375 не ответили. Правила ужесточились, так что будьте любезны. С формулами.

[ButovSV]

Munin в сообщении #376185 писал(а):

ButovSV
Вы ещё внятно на post38375.html#p38375 не ответили. Правила ужесточились, так что будьте любезны. С формулами.

А сам Someone стесняется потребовать ответа на свой вопрос?

Someone писал(а):

Таким образом, Вы, с одной стороны, декларируете приверженность закону сохранения импулься, а с другой - его же и опровергаете.

$$R = \frac{{\sum {m_a}{{\bf{r}}_a}}}{{\sum {m_a}}}$$

Вы бы спросили у Someone, может быть он уже не нуждается в ответе?
Может, он уже его знает?

Вы думаете, я введу новое определение Центра Масс?
Вряд ли.
Не смогу я удивить ни Вас, ни Someone, ни новые Ужесточившиеся Правила.
Центр Масс останется Центром Масс.

Someone задал великолепный вопрос (?).

$R = \frac{{\sum {m_a}{{\bf{r}}_a}}}{{\sum {m_a}}}$

Каким образом радиус-вектор R может быть не равным нулю?
(Я правильно понял этот вопрос, Someone?)
Ведь очевидно же, что R равен нулю. Нулю и только нулю!

Обычно, это демонстрируют, примерно, так:

Действие равно противодействию….
Все взаимодействия внутри замкнутой механической системе можно свести к взаимодействию двух тел.

$${m_1}{a_1} + {m_2}{a_2} = 0$$

, т.е.:

$${m_1}\frac{{{d^2}{r_1}\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + {m_2}\frac{{{d^2}{r_2}\left( t \right)}}{{d{t^2}}} = 0$$

Проинтегрируем:

$${m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} = 0$$

, т.е.:

$${m_1}\frac{{d{r_1}\left( t \right)}}{{dt}} + {m_2}\frac{{d{r_2}\left( t \right)}}{{dt}} = 0$$

Вот он! Закон Сохранения Импульса! (ЗСИ)

Проинтегрируем еще раз:

$${m_1}{r_1}\left( t \right) + {m_2}{r_2}\left( t \right) = 0$$

Вводится понятие Центра Масс:

$$R = \frac{{{m_1}{r_1}\left( t \right) + {m_2}{r_2}\left( t \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}$$

$$R = \frac{{{m_1}{r_1}\left( t \right) + {m_2}{r_2}\left( t \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} = 0$$

Вот он! Закон Сохранения Положения Центра Масс! (ЗСПЦМ)

Всё бы хорошо…
Вот только ЗСПЦМ так и остается законом только для двух тел!

Для механической системы из трех и более тел, уравнение, описывающее поведение радиус-вектора Центра Масс механической системы не имеет решения.

$$R\left( t \right) = \frac{{{m_1}\left( t \right){r_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right){r_2}\left( t \right)}}{{{m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right)}} = ?$$

где

${m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right) = const$

- одно из условий изолированности механической системы.


И рад бы я поставить вместо знака вопроса такой знакомый и родной для вас нолик, но – нельзя! Нет решения!
Ну, не то, чтобы его совсем не было.

Одно частное решение мы уже знаем:

$$R = \frac{{{m_1}{r_1}\left( t \right) + {m_2}{r_2}\left( t \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} = 0$$

Это частное решение.

Но оно может быть и не единственным!
Это частное решение не распространяется на все случаи (свойства) любых механических систем.

Для сложной механической системы (из трех и более тел) положение Центра Масс, для следующего момента времени – неопределено.

$$R\left( t \right) = \frac{{{m_1}\left( t \right){r_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right){r_2}\left( t \right)}}{{{m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right)}} = ?$$

Это уравнение можно решить только для частных случаев, учитывая свойства и условия взаимодействия компонентов изолированной механической системы.

Например – Varipend!

[Munin]

Простите, я не понял, вы интегрировать не умеете?

$$\sum_i m_i \mathbf{a}_i=0$$

после первого интегрирования даёт

$$\sum_i m_i \mathbf{v}_i=C_1$$

и после второго интегрирования даёт

$$\sum_i m_i \mathbf{r}_i=C_1 t+C_2.$$

По начальным условиям $C_1=0.$ Где здесь встречается ограничение на число тел?

[myhand]

ButovSV в сообщении #376225 писал(а):

Вот он! Закон Сохранения Положения Центра Масс! (ЗСПЦМ)

Всё бы хорошо…
Вот только ЗСПЦМ так и остается законом только для двух тел!

Чушь какая, начиная с "интегрирований"...

Вот Вам уравнения механики Ньютона для замкнутой системы:

$$\frac{d\vec p_i}{dt} = \sum\limits_{j\ne i} F_{ij}(|\vec r_1 - \vec r_2|,|\vec r_2 - \vec r_3|,\dots)\frac{\vec r_i - \vec r_j}{|\vec r_i - \vec r_j|} \eqno{(1)}$$

Суммируя (1) по $i$, учитывая третий закон Ньютона, что в данных обозначениях соответствует

$$F_{ij} = F_{ji}\eqno{(2)}$$

и интегрируя (1) по времени, получаем закон сохранения импульса в виде

$$\vec P = \sum\limits_i \vec p_i = const \eqno{(3)}$$

откуда, учитывая выражение для классического импульса

$$\vec p_i = m_i \vec v_i = m \frac{d\vec r_i}{dt} \eqno{(4)}$$

получаем еще одним интегрированием

$$\sum\limits_i m_i \vec r_i = t \vec P + const \eqno{(5)}$$

(5) вы можете разделить на константу $\sum\limits_i m_i$, тогда слева получите радиус-вектор "центра инерции".

Если Вы выберите ИСО, в которой также

$$\vec P = 0 \eqno{(6)}$$

(называется системой центра масс, СЦМ), то в ней (5) означает также сохранение центра масс замкнутой системы

$$\vec R = \frac{\sum\limits_i m_i \vec r_i}{\sum\limits_i m_i} = const \eqno{(6)}$$

и ничто иное. Никакого частного случая двух тел - Вас таки незря в буквари посылали.

PS: Munin, опередил... Ну да ладно - не пропадать ликбезу ;)

[ButovSV]

Munin в сообщении #376230 писал(а):

По начальным условиям $$C_1=0$ Где здесь встречается ограничение на число тел?

Очень удобно считать и $$C_2=0$, правда?
Действительно! Согласен! Никакого ограничения на число взаимодействующих тел!

myhand в сообщении #376235 писал(а):

(называется системой центра масс, СЦМ), то в ней (5) означает также сохранение центра масс замкнутой системы

$$\vec R = \frac{\sum\limits_i m_i \vec r_i}{\sum\limits_i m_i} = const \eqno{(6)}$$

и ничто иное. Никакого частного случая двух тел - Вас таки незря в буквари посылали.

Опять никакого "частного случая двух тел"!
Спасибо. Мне не надо ходить в буквари, чтобы это узнать.
Все, что есть в букваре, Вы мне тут и расскажете. Не более!

$$\vec R = \frac{\sum\limits_i m_i \vec r_i}{\sum\limits_i m_i} = const $$

Вы считаете, что с учетом нулевых начальных условий, всегда будет:

$$\vec R = const =0?$$

А получается не совсем так.
Решение уравнения

$$R\left( t \right) = \frac{{{m_1}\left( t \right){r_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right){r_2}\left( t \right)}}{{{m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right)}} $$

может привести к такому решению:

$$R\left( t \right) = const = f\left( t \right)$$

Радиус-вектор ЦМ является константой, изменяемой во времени.
Это - безынерционное перемещение ЦМ.

Перемещение ЦМ с нулевым ускорением.

Что мы знаем о Центре Масс (ЦМ) механической системы:
1. ЦМ – это просто геометрическая координата (точка в пространстве), которую можно рассчитать в каждый момент времени.
2. ЦМ не обладает массой (см.п.1)
3. ЦМ не обладает импульсом (см.п.2)
4. Не обладает инерцией (см.п.2)
5. ЦМ зависит: как от координат всех компонентов системы, так и от масс этих компонентов.
6. Изменяться с течением времени могут: как координаты компонентов системы, так и массы компонентов системы
7. Функция координат ЦМ непрерывна и неразрывна:${r_c}\left( t \right) = f\left( {{m_i}\left( t \right),{r_i}\left( t \right)} \right)$
8. Масса изолированной системы неизменна. Константа. Но эта константа есть функция от времени:${M_c}\left( t \right) = {m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right) = const$

На основании перечисленных 8-и пунктов можно сделать вывод: нельзя наделять ЦМ изолированной механической системы свойствами, которыми ЦМ не обладал, не обладает, и никогда не будет обладать, а именно – свойствами материального объекта.
Уравнение движения ЦМ может принимать вид очень сложной математической функции.
И ограничивать общий результат решения уравнения движения ЦМ константой, полученной для частного случая (нулем) – никто не в праве.

[Munin]

ButovSV в сообщении #376239 писал(а):

Решение уравнения

$$R\left( t \right) = \frac{{{m_1}\left( t \right){r_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right){r_2}\left( t \right)}}{{{m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right)}} $$

Это что за уравнение такое? Вы закона сохранения массы не проходили?

-- 16.11.2010 23:20:08 --

ButovSV в сообщении #376239 писал(а):

Радиус-вектор ЦМ является константой, изменяемой во времени.

Феерия. Вы знаете, что такое константа?

-- 16.11.2010 23:21:38 --

ButovSV в сообщении #376239 писал(а):

И ограничивать общий результат решения уравнения движения ЦМ константой, полученной для частного случая (нулем) – никто не в праве.

Решение - вправе. Если вы вообще понимаете, что такое решение уравнения.

[ButovSV]

Munin в сообщении #376240 писал(а):

Это что за уравнение такое? Вы закона сохранения массы не проходили?

ButovSV в сообщении #376225 писал(а):

где
${m_1}\left( t \right) + {m_2}\left( t \right) = const$
- одно из условий изолированности механической системы.

Munin в сообщении #376240 писал(а):

Феерия. Вы знаете, что такое константа?
Если вы вообще понимаете, что такое решение уравнения

Не знаю, с кем Вы разговариваете.

Вы мне можете не верить.
Вы обязаны мне не верить.

Но хочу Вам посоветовать- больше всего не верьте себе.

Задачи необходимо решать, а не утверждать, что Вы знаете все решения всего на свете!

[myhand]

ButovSV в сообщении #376239 писал(а):

Вы считаете, что с учетом нулевых начальных условий, всегда будет

То, что я "считаю" - я Вам написал (буквально все Вам посчитал):

myhand в сообщении #376235 писал(а):

Если Вы выберите ИСО, в которой также

$$\vec P = 0 \eqno{(6)}$$

(называется системой центра масс, СЦМ)

В этой ИСО - центр масс неподвижен ($\vec R = const$). В любой другой - движется прямолинейно и равномерно, со скоростью $\vec V = \frac{\vec P}{\sum_i m_i}$, т.е. $\vec R = const + t \vec V$.

ButovSV в сообщении #376239 писал(а):

А получается не совсем так.

Все получается именно так, как Вам написали. Если у Вас что-то получается не так - учите математику (и физику). Кроме как букварей (которые Вам советовал уже Someone) - тут помочь Вам никто не может.

[Munin]

ButovSV
Для случая частиц переменной массы (но замкнутой системы) соответствующие более общие выкладки, приводящие к тому же результату, приведены myhand в сообщении post376235.html#p376235 . Вы не вправе игнорировать этот результат, аргументируя это тем, что ваши оппоненты не должны верить себе. Задача myhand решена, а вот от вас решения не поступило, кроме невнятного заявления, что константная функция меняет свои значения.

[Шимпанзе]

myhand в сообщении #376235 писал(а):

учитывая третий закон Ньютона

Третий закон, закон "тонкий" не для всех сил действует… Что-то я запамятовал, а как доказать без привлечения третьего закона?

[myhand]

Шимпанзе в сообщении #376272 писал(а):

Третий закон, закон "тонкий" не для всех сил действует…

В классической механике - для всех.

Шимпанзе в сообщении #376272 писал(а):

Что-то я запамятовал, а как доказать без привлечения третьего закона?

А никак.

[whiterussian]

ButovSV
согласитесь ли вы отвечать на вопросы по поводу вашей статьи, если даже вам они покажутся очень простыми?

Я готова разбирать с вами ваши построения.

[epros]

myhand в сообщении #376274 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #376272 писал(а):

Третий закон, закон "тонкий" не для всех сил действует…

В классической механике - для всех.

А в какой механике не действует?

[Vallav]

epros в сообщении #376328 писал(а):

myhand в сообщении #376274 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #376272 писал(а):

Третий закон, закон "тонкий" не для всех сил действует…

В классической механике - для всех.

А в какой механике не действует?

В СТО. В ней силы равны, паралельны, но не лежат на одной прямой.
На одной прямой лежат ускорения.
Момент внутренних сил в замкнутой системе не равен нулю.

[epros]

Vallav в сообщении #376337 писал(а):

В СТО.

Неужели? И закон сохранения импульса не работает?