Вы представляете себе ту кривую которую вращаете. Для фиксированного

сечение это круг. Площадь круга

. В Вашем случае, радиус равен

как функция

, то есть меняем

, получаем другой радиус сечения. Грубо говоря, объём фигуры полученной вращением равен сумме площадей кругов для каждого

. Точнее говоря, делите отрезок
![$[0,\frac{1}{2}]$ $[0,\frac{1}{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/943d847e27baf4d7b63a5bcc9960e98882.png)
на

равных частей длиной

и затем
![$V \approx \sum_{i=1}^{n} \pi \frac{1-4(y_i^*)^2}{4} \Delta y, y_i^* \in [y_{i-1},y_i]$ $V \approx \sum_{i=1}^{n} \pi \frac{1-4(y_i^*)^2}{4} \Delta y, y_i^* \in [y_{i-1},y_i]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/c/5ac08d3e1b58776e563b039319df2c9f82.png)
, то есть сумма цилиндров высотой

и радиусом основания

. Это сумма Римана, то есть

.
Можно объём найти и по-другому, используя формулу длины окружности. Но здесь надо интегрировать по

. Также представляете себе кривую которую вращаете. Фиксируете

вычисляете

, рисуете линию из точки

на ось

. Теперь вращаете эту линию вокруг оси

. Понятно, что если делать так для каждого

, то полученные после вращения фигуры заполнят ту фигуру, объём которой надо найти. Если посмотрите на то, что Вы получаете после вращения, то увидите, что это что-то вроде цилиндра с вырезанным центром (длинная полоска толщиной

согнутая в окружность). Объём такой полоски равен длина на ширину на высоту, то есть

. Также
![$V \approx \sum_{i=1}^{n} 2 \pi x_i^* \sqrt{\frac{1-4(x_i^*)^2}{4}} \Delta x, x_i \in [x_{i-1},x_i]$ $V \approx \sum_{i=1}^{n} 2 \pi x_i^* \sqrt{\frac{1-4(x_i^*)^2}{4}} \Delta x, x_i \in [x_{i-1},x_i]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/e/1de8951738c28b2b6f19dd5f12e8649382.png)
и затем

.