Найти объем тела вращения

[NatNiM]

Найти объем тела вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями:
$\[ y = \frac{{\sqrt {1 - 4x^2 } }} {2};\,\,\,y = 4x - 2 \]$
Я записала как сумму объемов:
$\[ V = V_1 + V_2 = 2\pi \int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {\frac{x} {2}\sqrt {1 - 4x^2 } } dx + 2\pi \int\limits_{ - 1/2}^{1/2} {x\left( {4x - 2} \right)} dx \]$
только почему то объем $\[ V_1 \]$ нулевой.
Подскажите, пожалуйста, что я не так делаю.
Спасибо.

[Joker_vD]

NatNiM в сообщении #375200 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что я не так делаю.

Суммируете нечетную функцию по $[-a,a]$? Похоже на то.

[ewert]

NatNiM в сообщении #375200 писал(а):

Найти объем тела вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной

Не вникал в детали, но Вы явно игнорируете, кто когда и кого больше, а кто когда и кого меньше. Ну и с нечётностью -- тоже, разумеется: какая может быть чётность/нечётность, когда интегрирование по определению ведётся исключительно по полуоси. Просто по определению.

[NatNiM]

Поправлюсь, не верно сделала. Объем тела, вращающегося вокруг оси OY вычисляется по формуле:
$\[ V = 2\pi \int\limits_a^b {\left( {x\left( y \right)} \right)^2 dy} \] $
График функции $\[ y = \frac{1}{2}\sqrt {1 - 4x^2 } \] $ - ветка параболы, расположенная над осью OX, вершина которой в точке $\[ \left( {0;\,\,\frac{1}{2}} \right) \] $
График функции $\[ y = 4x - 2 \] $ - прямая, имеющая общую точку пересечения с параболой в точке $\[ \left( {\frac{1}{2};\,\,0} \right) \] $ и с осью OY в точке $\[ \left( {0;\,\, - 2} \right) \] $

В связи с этим решение таково:
$\[ V = V_{} + V_{} = 2\pi \frac{1}{4}\int\limits_0^{1/2} {\left( {1 - 4y^2 } \right)dy + 2\pi \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {\frac{{y + 2}}{4}} \right)^2 dy = \frac{\pi }{6}} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}} \] $
Может ли быть такой маленький объем?
Спасибо.

[Alexey1]

Откуда у Вас взялось $2\pi$?

[NatNiM]

Из формулы для вычисления объема фигуры, вращающейся вокруг оси OY.
А что, здесь ошибка?

[arseniiv]

NatNiM в сообщении #375887 писал(а):

А что, здесь ошибка?

Попробуйте вашей формулой найти объём цилиндра и сравните с каким-нибудь справочником (думаю, это не сильно отвлечёт). Поймёте, что поменять.

[faruk]

$V = 2\pi \int\limits_a^b x \vert f(x) \vert \,dx$

http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_of_revolution (rotating about the Y-axis)

NatNiM в сообщении #375661 писал(а):

Может ли быть такой маленький объем?

В этой задаче ответ можно проверить, посчитав объем (полшара + конус) по известным геометрическим формулам.

[arseniiv]

faruk, эта формула здесь неприменима!

[NatNiM]

Ну да, получается, что без двойки, объем цилиндра без двойки получается.
А почему тогда эта формула не идет здесь, я брала из книги.
Хотя, если рассудить, то незачем и удваивать.

[arseniiv]

NatNiM в сообщении #375971 писал(а):

я брала из книги

Вы могли перепутать с формулой для поверхности. Там есть двойка, зато подынтегральная функция не оквадрачивается. Или же там опечатка.

[Alexey1]

Вы представляете себе ту кривую которую вращаете. Для фиксированного $y$ сечение это круг. Площадь круга $\pi r^2$. В Вашем случае, радиус равен $x$ как функция $y$, то есть меняем $y$, получаем другой радиус сечения. Грубо говоря, объём фигуры полученной вращением равен сумме площадей кругов для каждого $y$. Точнее говоря, делите отрезок $[0,\frac{1}{2}]$ на $n$ равных частей длиной $\Delta y$ и затем $V \approx \sum_{i=1}^{n} \pi \frac{1-4(y_i^*)^2}{4} \Delta y, y_i^* \in [y_{i-1},y_i]$, то есть сумма цилиндров высотой $\Delta y$ и радиусом основания $\sqrt{\frac{1-4y^2}{4}}$. Это сумма Римана, то есть $V=\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \pi \frac{1-4(y_i^*)^2}{4} \Delta y=\pi\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1-4y^2}{4}dy$.
Можно объём найти и по-другому, используя формулу длины окружности. Но здесь надо интегрировать по $x$. Также представляете себе кривую которую вращаете. Фиксируете $x$ вычисляете $y=\sqrt{\frac{1-4x^2}{4}}$, рисуете линию из точки $(x,y)$ на ось $x$. Теперь вращаете эту линию вокруг оси $y$. Понятно, что если делать так для каждого $x$, то полученные после вращения фигуры заполнят ту фигуру, объём которой надо найти. Если посмотрите на то, что Вы получаете после вращения, то увидите, что это что-то вроде цилиндра с вырезанным центром (длинная полоска толщиной $\Delta x$ согнутая в окружность). Объём такой полоски равен длина на ширину на высоту, то есть $2\pi r \times \Delta x \times \sqrt{\frac{1-4y^2}{4}}$. Также $V \approx \sum_{i=1}^{n} 2 \pi x_i^* \sqrt{\frac{1-4(x_i^*)^2}{4}} \Delta x, x_i \in [x_{i-1},x_i]$ и затем $V=\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2\pi x_i^*\sqrt{\frac{1-4(x_i^*)^2}{4}} \Delta x=2\pi\int_0^{\frac{1}{2}} x\sqrt{\frac{1-4x^2}{4}}dx$.

[faruk]

Alexey1 в сообщении #376046 писал(а):

$V \approx \sum_{i=1}^{n} 2 \pi x_i^* \sqrt{\frac{1-4(x_i^*)^2}{4}} \Delta x, x_i \in [x_{i-1},x_i]$ и затем $V=\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2\pi x_i^*\frac{1-4(x_i^*)^2}{4} \Delta x=2\pi\int_0^{\frac{1}{2}} x\frac{1-4x^2}{4}dx$.

Радикал потерялся.

NatNiM в сообщении #375971 писал(а):

А почему тогда эта формула не идет здесь, я брала из книги.

Формула в книге правильная. А на ошибку ewert уже указал:

ewert в сообщении #375221 писал(а):

интегрирование по определению ведётся исключительно по полуоси.

[Alexey1]

Спасибо, исправил.