Траектория движения тела.

[Korolyov.Pavel]

Задача ставится так:

Нужно найти зависимость координаты $x$ от временим $t$ при котором:
$x(0)=-X_1$;
$x(T)=X_1$;
$x(T/2)=0$;
$x'(T/2)>0$;
$x(t)$ симетрично относительно точки $ t=T/2$;
$x'(t)$ принимает максимальное значение в $t=T/2$;

Что я надумал:
Я ущю решение в виде:
$x(t)=A arctg({B(t-\frac{T_1}{2})}) $
получается:



Остаётся найти коэффициенты $A$ и $B$. Размерность $A$ - метры, а $B$ - $c^{-1}$.

Из условия $x(0)=-X_1$ можно найти $A$:
$A=\frac{X_1}{arctg({B(-\frac{T_1}{2})}) }$

Но вот что делать с B и что это такое я не знаю.

Можете что-нибудь посоветовать?

[Парджеттер]

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

Но вот что делать с B и что это такое я не знаю.

Используйте второе условие.

[Zai]

Более простая функция $x(t)=-X_1 \cos \frac {\pi t} T$

[Bulinator]

Zai в сообщении #375830 писал(а):

Более простая функция $x(t)=-X_1 \cos \frac {\pi t} T$

И не только более простая но и более правильная, ибо функция

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

$x(t)=A arctg({B(t-\frac{T_1}{2})}) $

не удовлетворяет условиям

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

$x(t)$ симетрично относительно точки $ t=T/2$;
$x'(t)$ принимает максимальное значение в $t=T/2$;

[Korolyov.Pavel]

Спасибо большое за ответы)

Парджеттер в сообщении #375817 писал(а):

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

Но вот что делать с B и что это такое я не знаю.

Используйте второе условие.

его использование даст тоже самое, что и первое условие.

Bulinator в сообщении #375849 писал(а):

Zai в сообщении #375830 писал(а):

Более простая функция $x(t)=-X_1 \cos \frac {\pi t} T$

И не только более простая но и более правильная, ибо функция

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

$x(t)=A arctg({B(t-\frac{T_1}{2})}) $

не удовлетворяет условиям

Korolyov.Pavel в сообщении #375811 писал(а):

$x(t)$ симетрично относительно точки $ t=T/2$;
$x'(t)$ принимает максимальное значение в $t=T/2$;

Непойму, тоесть как не удовлетворяет?

Я думал насчёт косинуса, но в моей задаче лучше использовать арктангенс, у него производная в окрестности краевых точек $( t=0, t=T_1 )$ меньше чем у косинуса. В моём случае вся полезная работа(она зависит от скорости частицы) совершается в окрестности $t= T_1/2$ и я считаю, что лучше не тратить энергию на разгон частицы на краях.
И потом можно коэффициентом $B$ подкручивать функцию от прямой, до ступенчатой. Я просто не пойму что это за штука такая, какой у неё физический смысл...

Ай да ешё забыл сказать:
скорость частицы в $t= T_1/2$ конечна.

[Bulinator]

Korolyov.Pavel в сообщении #375894 писал(а):

Непойму, тоесть как не удовлетворяет?

Как? арктангенс же не симметричный $x(\frac{T}{2}-t)\neq x(\frac{T}{2}+t)$
Что касается второго условия сорри, удовлетворяет.

[Korolyov.Pavel]

Bulinator в сообщении #375895 писал(а):

Korolyov.Pavel в сообщении #375894 писал(а):

Непойму, тоесть как не удовлетворяет?

Как? арктангенс же не симметричный $x(\frac{T}{2}-t)\neq x(\frac{T}{2}+t)$
Что касается второго условия сорри, удовлетворяет.

Симметрия относительно точки $t=T_1/2$:

$arctan(t-\frac{T}{2}) = -arctan(-t-\frac{T}{2})$

разве нет?

[myhand]

Korolyov.Pavel в сообщении #376131 писал(а):

разве нет?

Нет, см. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Arcta ... angent.svg

Ваша $T/2$ отвечает на картинке нулю. Вы видите, что график несимметричный, относительно $t=0$?

Пожалуйста, разберитесь в том что означает "симметрия" $x(t)=x(-t)$ на графике функции. В нарисовали график, который явно несимметричен аналогичным образом (относительно нужной Вам точки), однако утверждаете совершенно обратное.

PS: В математике есть стандартные обозначения для математических функций. Не надо заставлять людей гадать что Вы имели в виду под крокодилом $Aarctg$. И вообще, существует кнопка "предпросмотр" - хоть изредка уважайте своих читателей.

[Парджеттер]

Korolyov.Pavel в сообщении #375894 писал(а):

его использование даст тоже самое, что и первое условие.

Действительно, не заметил. Впрочем, это естественно при таких требованиях. Тогда нет смысла в двух произвольных параметрах. Или нужно выбирать по другому критерию.

[Himfizik]

Скажу пару слов в защиту Korolyov.Pavelа: смотря как интерпретировать симметрию, которая как известно может быть разной, а не только осевой... Какой вид симметрии имел ввиду создатель темы непонятно... Может центральную симметрию с центром в точке $t=T/2$ на ограниченном интервале оси времени...

[Korolyov.Pavel]

Himfizik в сообщении #376482 писал(а):

Скажу пару слов в защиту Korolyov.Pavelа: смотря как интерпретировать симметрию, которая как известно может быть разной, а не только осевой... Какой вид симметрии имел ввиду создатель темы непонятно... Может центральную симметрию с центром в точке $t=T/2$ на ограниченном интервале оси времени...

Это я и имел ввиду.

Спасибо за ответы, но я хотел спросить именно про коэффициент B , потому что без него размерностьне сходится...