Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.

[JustAMan]

А если выразить какую-нибудь одну переменную из первого уравнения, подставить это всё во второе уравнение и вот то получившееся уже решить, так нельзя?

[Munin]

Похоже, вы не понимаете, что такое дифференциальные уравнения вообще.

Прошу вас, откройте "Фейнмановские лекции по физике" том 1, и прочитайте главу 9. Очень внимательно и вдумчиво. Там рассказано, что такое Второй закон Ньютона, и что такое дифференциальные уравнения, и что такое их решение.

Возвращайтесь к Maple не раньше, чем это сделаете.

[JustAMan]

Ага, понимаю их очень плохо :( если вообще что-то понимаю или понимал когда-то) Но запрогить эти шарики нужно, поэтому и пытаюсь найти какое-то тут решение

Спасибо за литературу. Уже открыл её, попробуем разобраться..

PS Прям первое предложение: "Открытие законов динамики или законов движения стало один из наиболее драматических моментов в истории науки".
Не только в истории науки, но и в моей истории)))

[Munin]

JustAMan в сообщении #375742 писал(а):

Но запрогить эти шарики нужно

Вы уточните, насколько срочно нужно?

[JustAMan]

Munin в сообщении #375749 писал(а):

JustAMan в сообщении #375742 писал(а):

Но запрогить эти шарики нужно

Вы уточните, насколько срочно нужно?

Ну в идеале, последующие день-два.
Да запрограммировать-то я без проблем запрограммирую, если методы эти пойму на пальцах.. Проблемы только с математической/физической стороны.. :(

[ewert]

JustAMan в сообщении #375491 писал(а):

А где почитать об этом можно? По каким запросам, хотя бы, искать такой метод преобразования? :) Пока не очень понимаю о чём речь идёт

Никакой это не метод, а просто банальная идея. Уравнение $y^{(n)}=f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})$ порядка $n$ сводится к системе уравнений первого порядка для столбца $\vec z\equiv(z_1,z_2,\ldots z_n)=(y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})$:

$\begin{cases}z_1'=z_2\\z_2'=z_3\\z_{n-1}'=z_n\\z_n'=f(x,z_1,z_2,\ldots,z_n)\end{cases}$

А эта система уже решается любым стандартным численным методом, записанным в векторной форме. Хочется Рунге-Кутта -- пусть будет Рунге-Кутта.

[Munin]

JustAMan в сообщении #375753 писал(а):

Ну в идеале, последующие день-два.

Я по вашей формулировке подумал, что вас дедлайн какой-то подгоняет.

[JustAMan]

ewert в сообщении #375824 писал(а):

JustAMan в сообщении #375491 писал(а):

А где почитать об этом можно? По каким запросам, хотя бы, искать такой метод преобразования? :) Пока не очень понимаю о чём речь идёт

Никакой это не метод, а просто банальная идея. Уравнение $y^{(n)}=f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})$ порядка $n$ сводится к системе уравнений первого порядка для столбца $\vec z\equiv(z_1,z_2,\ldots z_n)=(y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})$:

$\begin{cases}z_1'=z_2\\z_2'=z_3\\z_{n-1}'=z_n\\z_n'=f(x,z_1,z_2,\ldots,z_n)\end{cases}$

Ну вот тут-то и проблема.. Я думал, что это сведение подобно вот тому: post224223.html#p224223
но у меня проблема возникает с тем, что есть переменные со второй производной и вообще без неё) Ну вот в качестве практики можно взять вот такое уравнение:

$x_1'' + w^2*x_1 = 0$

Как тут свести к первому порядку? Вот например попытка создания такой системы:

\begin{cases} $x_1' = y\\ y' + w^2*x_1 = 0 \end{cases}

я не знаю что здесь с $x_1$ делать.. (который при $w^2$). Одно дело, если бы там стояло $x_1'$, тогда просто), а тут без производной..

Если бы там было так, к примеру:
$x_1'' + w^2*x_1' = 0$
то получилась бы такая система:
\begin{cases}$x_1' = y$\\ $y' + w^2*y = 0 \end{cases}

а вот что делать в случае, если там переменная вообще без знака производной и какой вид она должна принять, не пойму..

Munin писал(а):

Я по вашей формулировке подумал, что вас дедлайн какой-то подгоняет.

Дедлайн и есть в два дня. День - на то, чтобы было ещё время и с остальным разобраться, после этого..

[Bulinator]

JustAMan в сообщении #375987 писал(а):

а вот что делать в случае, если там переменная вообще без знака производной и какой вид она должна принять, не пойму..

Так оставте ее без знака производной. Давайте обзывать $y$ $x_2$, чтобы можно было рассматривать их как компоненты одного вектора.
$\begin{cases}$x_1^\prime = x_2$\\ $x_2^\prime =- w^2 x_1 \end{cases}$

-- Вт ноя 16, 2010 18:48:16 --

Или в векторной форме
$\left(\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\end{array}\right)^\prime=\left(\begin{array}{ccc}x_2\\-w^2x_1\end{array}\right)$

-- Вт ноя 16, 2010 18:54:53 --

Далее, считая, что все величины в методе Рунге Кутты не скалярные float а структуры {float x_1, float x_2} пишите прогу.

[Munin]

JustAMan в сообщении #375987 писал(а):

Дедлайн и есть в два дня.

Я отваливаю от задачи объяснить решение систем ОДУ в столь сжатый срок.

[JustAMan]

Munin в сообщении #376047 писал(а):

JustAMan в сообщении #375987 писал(а):

Дедлайн и есть в два дня.

Я отваливаю от задачи объяснить решение систем ОДУ в столь сжатый срок.

Ну что поделать, не бросать же её, решать всё равно мне прийдётся

Bulinator
Блин.. оказывается можно и просто оcтавить её было? Я думал, что с ней обязательно нужно что-то сделать и думал что же можно такого предпринять.. :))

Тогда моя система:
\begin{cases} x_1'' = \frac{-k_1(x_1-a-l)+k_2(x_2-x_1-l_2)}{m_1}\\ x_2'' = \frac{-k2(x_2-x_1-l_2)+k_3(b-x_2-l_2)}{m_2} \end{cases}

Примет видимо вот такой вид:
\begin{cases} x_1' = x_3\\ x_2' = x_4\\ x_3' = \frac{-k_1(x_1-a-l)+k_2(x_2-x_1-l_2)}{m_1}\\ x_4' = \frac{-k2(x_2-x_1-l_2)+k_3(b-x_2-l_2)}{m_2} \end{cases}

Верно?

[arseniiv]

Bulinator в сообщении #376031 писал(а):

не скалярные float а структуры {float x_1, float x_2}

Лучше long double. Точность никогда не бывает лишней в таких итеративных вычислениях. Кажется.

[Bulinator]

JustAMan в сообщении #376055 писал(а):

Тогда моя система:
$\begin{cases} x_1'' = \frac{-k_1(x_1-a-l)+k_2(x_2-x_1-l_2)}{m_1}\\ x_2'' = \frac{-k2(x_2-x_1-l_2)+k_3(b-x_2-l_2)}{m_2} \end{cases} $
Примет видимо вот такой вид:
$\begin{cases} x_1' = x_3\\ x_2' = x_4\\ x_3' = \frac{-k_1(x_1-a-l)+k_2(x_2-x_1-l_2)}{m_1}\\ x_4' = \frac{-k2(x_2-x_1-l_2)+k_3(b-x_2-l_2)}{m_2} \end{cases}$

Верно?

Верно

[JustAMan]

Bulinator
Спасибо! :))

arseniiv в сообщении #376062 писал(а):

Bulinator в сообщении #376031 писал(а):

не скалярные float а структуры {float x_1, float x_2}

Лучше long double. Точность никогда не бывает лишней в таких итеративных вычислениях. Кажется.

Алгоритм бы ещё сообразить, какой тут прогу писать

Его реализация вот тут неплохо описана и показана: http://www.intuit.ru/department/calcula ... /12/7.html
видимо это для одного уравнения, а с системой чуть посложнее. (хотя пока не очень представляю как именно) ).

Вот тут в конце: http://www.intuit.ru/department/calcula ... 12/10.html есть конечный алгоритм. Вот именно его видимо и реализовывать (с учётом того, что другие его элементы на прошлых страницах :) ).

А готовой реализации для решения систем нет ни у кого?))) В принципе, без разницы на каком языке. С любого известного на С++ переведём :)
Нашёл кучу реализаций Рунге-Кутта для уравнения, а для систем не попадались, вроде и метод известный. Просто не хотелось бы лишний раз велосипед изобретать, а потом отлаживать его.. но видать прийдётся самому это реализовывать :)

[Bulinator]

JustAMan в сообщении #376097 писал(а):

А готовой реализации для решения систем нет ни у кого?))) В принципе, без разницы на каком языке. С любого известного на С++ переведём :)
Нашёл кучу реализаций Рунге-Кутта для уравнения, а для систем не попадались, вроде и метод известный. Просто не хотелось бы лишний раз велосипед изобретать, а потом отлаживать его.. но видать прийдётся самому это реализовывать :)

Ну определите структуру

struct vec
{
long double x1;
long double x2;
long double x3;
long double x4;
},

перегрузите операторы +/- и просто поменяйте тип неизвестных в готовом примере на эту структуру. Ну там может еще придется повозиться