На следующую гипотезу меня натолкнули две олимпиадные задачи, ибо я заметила нечто общее между ними.
Задача 1: Рассматриваются все натуральные числа n такие, что числа

и

– точные квадраты. Найдите наибольший общий делитель всех рассматриваемых чисел.
Источник задачи: XXXVII Еекатеринбургская городская олимпиада, 1996-1997. Областной тур. 10 класс. 2-й день.
Здесь в ответе получается

Задача 2:

и

– точные квадраты. Докажите, что

делится на

.
Источник задачи: Словенская математическая олимпиада.. 1994. 3 тур.
Доказав (и вспомнив предыдущую задачу), я заметила, что

, и решила пойти дальше.
Вот моя гипотеза:
Для любого натурального

наибольший общий делитель всех натуральных чисел

таких, что числа

и

являются точными квадратами, равен

.
Первые два частных случая - это те самые две олимпиадные задачи (см. выше).
Случай с

я рассмотрела, и он вписывается в гипотезу, там получается

Помогите, пожалуйста, доказать (либо опровергнуть) сию гипотезу.
Заранее благодарна!