Можно ли задать сходимость топологией

[Padawan]

Пусть $K=\{z\in\mathbb C: |z|=1\}$ -- единичная окружность в комплексной плоскости. Рассмотрим векторное пространство $P$ функций $f\colon K\to\mathbb C$, каждая из которых аналитична в некоторой окрестности $K$. Определим на $P$ сходимость, полагая направленность $(f_\alpha)\subset P$ сходящейся к функции $f\in P$, если найдется окрестность $U\supset K$, такая, что $f_\alpha$ равномерно сходится к $f$ на $U$.
1) Можно ли задать эту сходимость при помощи некоторой топологии на $P$?
2) Тот же самый вопрос, но заменим направленность $(f_\alpha)$ на последовательность $(f_n)_{n=1}^\infty$.

[moscwicz]

$E_s$ -- банахово пространство функций голоморфных в открытом кольце
$K_s=\{z\mid 1-s<|z|<1+s\}$ и непрерывных в его замыкании ($\|f\|_{E_s}=\max_{K_s}|f(z)|$)
Тогда $P=\cup_{s>0}E_s$ -- индутивный предел

[Padawan]

В индуктивном пределе вроде сходимость будет другая -- просто равномерная на окружности. Но не уверен...
Нет, совсем не уверен.
Почему сходимость в индуктивном пределе должна быть такая, как у меня описана?

[Padawan]

Как бы там ни было с индуктивным пределом, на первый вопрос ответ -- нельзя.
Если бы сходимость задавалась топологией, то для любого множества $M\subset P$ было бы выполнено $\overline{\overline M}=\overline M$. Замыкание определяется так -- это пределы всевозможных сходящихся направленностей из $M$. Рассмотрим множество $M=\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\frac{1}{z-(1+1/m)}| m,n\in\mathbb N\}$
$\overline M$ не содержит $f=0$, а $\overline{\overline M}$ -- содержит.

[moscwicz]

На самом деле, Ваше пространство является подпространством индуктивного предела. Ниже я доказываю, что из сходимости в Вашем пространстве следует сходимость в топологии индуктивного предела. Обратно мне доказать не удалось, и как следует из Вашего примера, этого и не должно быть.

Пусть направленность $f_\alpha$ сходится к нулю в Вашем смысле. Покажем, что она сходится в топологии индуктивного предела. Действительно ,найдется кольцо $K_r\subset U$. ($U$ -- это то, что в Вашем определении)

По определению индуктивного предела базисом окрестностей в $E=\cup_{s>0}E_s$ являются абсолютно выпуклые множества $V$, такие, что $V\cap E_s$ --окрестность нуля в $E_s$.

Берем произвольную окрестность $V$ указанного вида. Поскольку $E_{s'}\subset E_s,\quad s'>s$ ,найдется такой индекс $c$, что $E_s\cap V\ne\emptyset$ при любом $ s\le c$. Пусть теперь $\tau=\min\{r,c\}$. Множество
$V\cap E_\tau$ открыто в $E_\tau$, не пусто и значит содержит шар $B\subset E_\tau$ c центром в нуле.

Поскольку мы предположили сходимость в Вашем смысле, начиная с некоторого $\alpha'$ будет $f_\alpha\in B\subseteq V,\quad \alpha\ge \alpha'$.

[Padawan]

moscwicz в сообщении #373919 писал(а):

На самом деле, Ваше пространство является подпространством индуктивного предела.

Как множества, они совпадают. Только сходимость разная.

Интересно, как явно описывается сходимость в индуктивном пределе?

[moscwicz]

Padawan в сообщении #373922 писал(а):

Интересно, как явно описывается сходимость в индуктивном пределе?

наверное как-то так. Направленность сходится к нулю если для любого $\varepsilon>0$ найдется индекс $\alpha'$ такой, что для всякого $\alpha\ge \alpha'$ существует $s>0$ при котором $\|f_\alpha\|_{E_s}<\varepsilon$

[Padawan]

Это и есть равномерная сходимость на окружности.

[Padawan]

Вот интересно, в моем пространстве $P$ топологии нет, а о полноте все равно осмысленно говорить. Оно полно в следующем смысле. Направленность $(f_\alpha)_{\alpha\in S}\subset P$ назовём направленностью Коши, если направленность $(f_\alpha-f_\beta)_{(\alpha,\beta)\in S^2}$ сходится к нулю. Так вот, любая направленность Коши сходится в $P$.

[moscwicz]

есть еще псевдотопологические пространства

[paha]

если там есть "последовательности Коши", то замена топологии -- какое-то подобие равномерной структуры, нет?

[Padawan]

moscwicz в сообщении #373389 писал(а):

$E_s$ -- банахово пространство функций голоморфных в открытом кольце
$K_s=\{z\mid 1-s<|z|<1+s\}$ и непрерывных в его замыкании ($\|f\|_{E_s}=\max_{K_s}|f(z)|$)
Тогда $P=\cup_{s>0}E_s$ -- индутивный предел

Сходимость последовательности $(f_n)_{n=1}^\infty$ в $P$ совпадает со сходимостью, описанной в стартовом сообщении. Предлагаю доказать.

Вообще, это какое-то свойство индуктивного предела, что последовательность в нем сходится тогда и только тогда, когда она вся лежит в некотором подпространства $E_s$ (из которых строится индуктивный предел) и в топологии этого подпространства сходится? Какие нужны достаточные условия, чтобы это было верно?