Паракомпактность .

[maxmatem]

Надо доказать , что всякое топологическое многообразие является паракомпактным топологическим пространством.
иными словами надо показать , что в локально евклидовом хаусдорфовом топологическом пространстве с счётной базой , во всякое открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие.
Во многих учебниках эта теорема представлена без доказательства,ну мол очевидна и чего на неё время тратить. А вот мне она не очевидна..... Вот где можно посмотреть нормальное доказательство?

[maxmatem]

можно и намекнуть как доказывать?

[Someone]

maxmatem в сообщении #373728 писал(а):

можно и намекнуть как доказывать?

Да чего там доказывать-то... Ну хорошо, давайте так рассуждать.
Пусть у нас $X$ - хаусдорфово многообразие со счётной базой.
1) Докажите, что $X$ регулярно, то есть, для каждой точки $x\in X$ и каждой её открытой окрестности $Ux\subseteq X$ существует такая открытая окрестность $Vx\subseteq Ux$, что $[Vx]_X\subseteq Ux$.
2) Регулярное пространство со счётной базой нормально.
3) Нормальное пространство со счётной базой метризуемо (например, потому, что вкладывается в гильбертов кирпич, хотя можно построить метрику явно).
4) Метризуемое пространство паракомпактно.

P.S. Обычно от топологического многообразия не требуется, чтобы оно было хаусдорфово или имело счётную базу.

[paha]

Someone в сообщении #373831 писал(а):

Да чего там доказывать-то...

для паракомпактности достаточно локальной компактности и счетной базы...

(Оффтоп)

а то, насколько я знаю историю, паракомпактность была сочинена как необходимое условие метризуемости (впрочем, могу ошибаться)

[maxmatem]

Someone

Цитата:

Метризуемое пространство паракомпактно.

Вы в этом точно уверены? где вы такую теорему нашли?

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #374009 писал(а):

Someone

Цитата:

Метризуемое пространство паракомпактно.

Вы в этом точно уверены? где вы такую теорему нашли?

"Теорема 6.18 (П. С. Александров, П. С. Урысон.). Хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно и обладает измельчающейся системой открытых покрытий". Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология" Страница 309.

[maxmatem]

Ну так и это утверждение было бы не плохо доказать. (ну вот такой я дотошный, ничего не поделаешь.)Вот хотелось бы доказать на прямую(это я про первое утверждение), свести доказательство, к минимальному использованию вспомогательных теорем(которые не совсем очевидны).

[Виктор Викторов]

Посмотрите у Энгелькинга. Глава 5.

maxmatem в сообщении #374029 писал(а):

я дотошный

Если дотошный, то прочтите всю главу. Она так и называется "Паракомпактные пространства".

(Оффтоп)

У меня нехорошие подозрения, что Вы у Вас нет этой книги.

[paha]

maxmatem в сообщении #374029 писал(а):

Вот хотелось бы доказать нанет пробелапрямую

paha в сообщении #373834 писал(а):

для паракомпактности достаточно локальной компактности и счетной базы

[maxmatem]

Виктор Викторов
Есть, просто в неё я почему-то не заглянул.
кстати а почему нехорошие?

Цитата:

У меня нехорошие подозрения, что Вы у Вас нет этой книги.

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #374286 писал(а):

Виктор Викторов
Есть, просто в неё я почему-то не заглянул.
кстати а почему нехорошие?

Цитата:

У меня нехорошие подозрения, что Вы у Вас нет этой книги.

Что-то последнее время у меня плохо с шутками. Под "нехорошие" имелось в виду подозрение, что Вы может быть не знакомы с этой очень хорошей книгой.

[Someone]

paha в сообщении #373834 писал(а):

Someone в сообщении #373831 писал(а):

Да чего там доказывать-то...

для паракомпактности достаточно локальной компактности и счетной базы...

Надо сказать, что локальная компактность имеет весьма отдалённое отношение к паракомпактности и используется здесь как техническое средство для доказательства регулярности. Замечу, что нехаусдорфово многообразие запросто может оказаться не локально компактным (и, конечно не регулярным, ибо регулярное пространство хаусдорфово).
В связи с этим, конечно, в решении задачи должно быть чётко указано, какую роль играет хаусдорфовость. maxmatem, Вы можете ответить на этот вопрос?

Что касается метризуемости, то она, конечно, далеко не обязательна, просто в данном случае она всё равно имеет место и на неё можно сослаться. Для паракомпактности достаточно регулярности и финальной компактности (в книге Энгелькинга это теорема 3.8.11), а финальная компактность следует из существования счётной базы.

[paha]

Someone в сообщении #374668 писал(а):

нехаусдорфово многообразие запросто может оказаться не локально компактным

ну и пусть не оказывается:)


Мы оба пользуемся хаусдорфовостью и локальной евклидовостью
Вы -- для доказательства регулярности
я -- для для доказательства локальной компактности
добавляя что к одному, что к другому счетную базу получаем паракомпактность
только Вам приходиться ссылаться на результат Стоуна (метризуемость влечет паракомпактность), а мне -- на 3 строчки доказательства

Someone в сообщении #374668 писал(а):

Что касается метризуемости, то она, конечно, далеко не обязательна, просто в данном случае она всё равно имеет место и на неё можно сослаться

Как уже указывалось, паракомпактность (наряду с хаусдорфовостью) является необходимым условием метризуемости... Поэтому выводить метризуемость из паракомпактности -- ставить лошадь вперед телеги

[maxmatem]

Someone

Цитата:

В связи с этим, конечно, в решении задачи должно быть чётко указано, какую роль играет хаусдорфовость. maxmatem, Вы можете ответить на этот вопрос?

Отвечаю.
Про хаусдорфовость говорится лишь в определении топологического многообразия. Так что роль хаусдорфовости-это неотъемлемый компанент определения топологического многообразия.

[Someone]

maxmatem в сообщении #374760 писал(а):

Про хаусдорфовость говорится лишь в определении топологического многообразия.

С моей точки зрения, топологическое многообразие - это линейно связное топологическое пространство, каждая точка которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству пространства $\mathbb R^n$. Хаусдорфовость в определении не требуется. У Вас может быть другое определение, спорить не будем.

maxmatem в сообщении #374760 писал(а):

Так что роль хаусдорфовости-это неотъемлемый компанент определения топологического многообразия.

Нет. Я думаю, вопрос прояснится, если Вы нам покажете, как Вы доказываете регулярность.

Someone в сообщении #373831 писал(а):

1) Докажите, что $X$ регулярно, то есть, для каждой точки $x\in X$ и каждой её открытой окрестности $Ux\subseteq X$ существует такая открытая окрестность $Vx\subseteq Ux$, что $[Vx]_X\subseteq Ux$.

Мне показалось, что Вы сочли это утверждение "очевидным": раз у каждой точки нашего многообразия есть окрестность, гомеоморфная открытому подмножеству какого-то $\mathbb R^n$, а $\mathbb R^n$ регулярно, то, вроде бы, и многообразие должно быть регулярным. Однако тут есть подводный камень, который без хаусдорфовости обойти нельзя, так что хаусдорфовость упоминается не потому, что она есть в том определении, которым Вы пользуетесь. Хотя объяснение содержит пару-тройку фраз.

paha в сообщении #374728 писал(а):

ну и пусть не оказывается:)

Ну так вопрос-то в том и состоит, чтобы объяснить, чем хаусдорфово многообразие отличается от нехаусдорфова. Почему хаусдорфово многообразие паракомпактно, а нехаусдорфово может не быть паракомпактным? Замечу, что хаусдорфовость в определении паракомпактности не требуется.

paha в сообщении #374728 писал(а):

только Вам приходиться ссылаться на результат Стоуна (метризуемость влечет паракомпактность)

Ну, это было сгоряча: что первое в голову пришло, то и написал. Потом же я указал, что достаточно финальной компактности.

paha в сообщении #374728 писал(а):

а мне -- на 3 строчки доказательства

Что, неужели намного короче доказательства теоремы 3.8.11 у Энгелькинга? И не используя регулярность?

paha в сообщении #374728 писал(а):

Как уже указывалось, паракомпактность (наряду с хаусдорфовостью) является необходимым условием метризуемости... Поэтому выводить метризуемость из паракомпактности -- ставить лошадь вперед телеги

Это я не понял. Я не выводил метризуемость из паракомпактности, я выводил метризуемость из регулярности и наличия счётной базы (хотя это, конечно, длинно; но это известная теорема, и длина её доказательства роли не играет). Кроме того, не вижу ничего предосудительного в метризационной теореме, одним из условий которой является паракомпактность.