Рациональные числа

[Xenia1996]

Для любого ли натурального $n$ существуют положительные рациональные, но не целые числа $a$ и $b$ $(a \ne b)$, такие что числа $a-b, a^2-b^2, … ,a^n-b^n$ – целые?

Источник задачи: Региональная индийская олимпиада, 1996

(Числа-то я подобрала...)

Для любого $n$ достаточно взять $a=2^{n-1}+0.5$ и $b=0.5$. Но всё это на уровне моей интуиции, а вот с доказательством - туговато.

[General]

Ну так всё правильно, красивое решение. Доказательством существования и есть пример.

[Xenia1996]

General в сообщении #373562 писал(а):

Ну так всё правильно, красивое решение. Доказательством существования и есть пример.

Не, не, не!
Нужно доказать, что если для любого n взять a=2^{n-1}+0.5 и b=0.5, то условие задачи выполняется.

[Nilenbert]

А чего думать то?

$$ a^n-b^n=\left(\frac{2^n+1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{(2^n+1)^n-1}{2^n}= \frac{(2^n+1-1)((2^n+1)^{n-1}+...+1)}{2^n}=(2^n+1)^{n-1}+...+1 $$

[Xenia1996]

Nilenbert в сообщении #373575 писал(а):

А чего думать то?

$$ a^n-b^n=\left(\frac{2^n+1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{(2^n+1)^n-1}{2^n}= \frac{(2^n+1-1)((2^n+1)^{n-1}+...+1)}{2^n}=(2^n+1)^{n-1}+...+1 $$

(Да поняла уже. Спасибо!)

[pcyanide]

Насколько я понимаю условие задачи, $a$ и $b$ должны быть константами, не зависящими от $n$.

[Mikhail_K]

pcyanide в сообщении #1315492 писал(а):

Насколько я понимаю условие задачи, $a$ и $b$ должны быть константами, не зависящими от $n$.

Вы неправильно понимаете условие задачи.
Если бы это было так, то задача формулировалась бы следующим образом: "Существуют ли положительные рациональные, но не целые числа $a$ и $b$ ($a\neq b$), такие что для любого натурального $n$ число $a^n-b^n$ целое?"
То есть был бы другой порядок кванторов.

----------

В Вашей формулировке задача не имеет решения.

В самом деле, пусть $a=p_1/q_1$, $b=p_2/q_2$ - искомые числа, выраженные несократимыми дробями.
Число $a^n-b^n=\frac{p_1^nq_2^n-p_2^nq_1^n}{q_1^nq_2^n}$ целое, так что числитель в этой дроби делится нацело на $q_1^n$ и на $q_2^n$. Поэтому $p_1^nq_2^n$ делится на $q_1^n$, а $p_2^nq_1^n$ делится на $q_2^n$. Вспоминаем о несократимости дробей $p_1/q_1$ и $p_2/q_2$, и приходим к выводу что $q_1^n$ и $q_2^n$ делятся друг на друга, так что попросту $q_1=q_2=q$.

Утверждение о том, что $a^n-b^n$ целое, означает теперь, что $p_1^n-p_2^n$ делится на $q^n$ при любом $n$.
Поэтому $p_1^{n+1}-p_2^{n+1}=(p_1^n-p_2^n)p_1+p_2^n(p_1-p_2)$ должно делиться на $q^{n+1}$, а значит и на $q^n$. Первое слагаемое тут уже делится на $q^n$, значит должно и второе. Снова вспоминаем о несократимости $p_2/q$ и приходим к выводу, что $p_1-p_2$ делится на $q^n$ при любом $n$. Это возможно, только если $p_1=p_2$. Но тогда $a=p_1/q=p_2/q=b$, что противоречит условию.

Не знаю, может это и проще можно доказать; первое что пришло в голову.