2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональные числа
Сообщение11.11.2010, 17:14 


01/10/10
2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Для любого ли натурального $n$ существуют положительные рациональные, но не целые числа $a$ и $b$ $(a \ne b)$, такие что числа $a-b, a^2-b^2, … ,a^n-b^n$ – целые?

Источник задачи: Региональная индийская олимпиада, 1996

(Числа-то я подобрала...)

Для любого $n$ достаточно взять $a=2^{n-1}+0.5$ и $b=0.5$. Но всё это на уровне моей интуиции, а вот с доказательством - туговато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение11.11.2010, 17:19 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Ну так всё правильно, красивое решение. Доказательством существования и есть пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение11.11.2010, 17:29 


01/10/10
2116
Израиль (племянница БизиБивера)
General в сообщении #373562 писал(а):
Ну так всё правильно, красивое решение. Доказательством существования и есть пример.

Не, не, не!
Нужно доказать, что если для любого n взять a=2^{n-1}+0.5 и b=0.5, то условие задачи выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение11.11.2010, 17:46 
Аватара пользователя


25/03/08
241
А чего думать то?
$$
a^n-b^n=\left(\frac{2^n+1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{(2^n+1)^n-1}{2^n}=
\frac{(2^n+1-1)((2^n+1)^{n-1}+...+1)}{2^n}=(2^n+1)^{n-1}+...+1
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение11.11.2010, 17:50 


01/10/10
2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Nilenbert в сообщении #373575 писал(а):
А чего думать то?
$$
a^n-b^n=\left(\frac{2^n+1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{(2^n+1)^n-1}{2^n}=
\frac{(2^n+1-1)((2^n+1)^{n-1}+...+1)}{2^n}=(2^n+1)^{n-1}+...+1
$$

(Да поняла уже. Спасибо!)


 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение28.05.2018, 10:48 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Насколько я понимаю условие задачи, $a$ и $b$ должны быть константами, не зависящими от $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные числа
Сообщение28.05.2018, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3122
pcyanide в сообщении #1315492 писал(а):
Насколько я понимаю условие задачи, $a$ и $b$ должны быть константами, не зависящими от $n$.
Вы неправильно понимаете условие задачи.
Если бы это было так, то задача формулировалась бы следующим образом: "Существуют ли положительные рациональные, но не целые числа $a$ и $b$ ($a\neq b$), такие что для любого натурального $n$ число $a^n-b^n$ целое?"
То есть был бы другой порядок кванторов.

----------

В Вашей формулировке задача не имеет решения.

В самом деле, пусть $a=p_1/q_1$, $b=p_2/q_2$ - искомые числа, выраженные несократимыми дробями.
Число $a^n-b^n=\frac{p_1^nq_2^n-p_2^nq_1^n}{q_1^nq_2^n}$ целое, так что числитель в этой дроби делится нацело на $q_1^n$ и на $q_2^n$. Поэтому $p_1^nq_2^n$ делится на $q_1^n$, а $p_2^nq_1^n$ делится на $q_2^n$. Вспоминаем о несократимости дробей $p_1/q_1$ и $p_2/q_2$, и приходим к выводу что $q_1^n$ и $q_2^n$ делятся друг на друга, так что попросту $q_1=q_2=q$.

Утверждение о том, что $a^n-b^n$ целое, означает теперь, что $p_1^n-p_2^n$ делится на $q^n$ при любом $n$.
Поэтому $p_1^{n+1}-p_2^{n+1}=(p_1^n-p_2^n)p_1+p_2^n(p_1-p_2)$ должно делиться на $q^{n+1}$, а значит и на $q^n$. Первое слагаемое тут уже делится на $q^n$, значит должно и второе. Снова вспоминаем о несократимости $p_2/q$ и приходим к выводу, что $p_1-p_2$ делится на $q^n$ при любом $n$. Это возможно, только если $p_1=p_2$. Но тогда $a=p_1/q=p_2/q=b$, что противоречит условию.

Не знаю, может это и проще можно доказать; первое что пришло в голову.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group