Задача на пуассоновский случайный процесс

[lelische]

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Машины проезжают через некоторый перекресток в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda > 0$. Человек переходит через перекресток, только если он видит, что в ближайшие T единиц времени никакие машины через перекресток не поедут. Определить среднее время, которое человеку придется подождать, прежде чем появится возможность перейти через перекресток.
Какие у меня мысли. Пусть $X_i$ - время между $i-1$ -м и $i$-м событиями. Распределение этих $X_i ~Exp(\frac 1 \lambda)$. Тогда
$ E t = \sum_{i = 2}^\infty \left( \left( \sum_{j = 1}^{i-1} X_j \right) P(X_i > T | X_1, \ldots , X_{i - 1} < T)\right)$
Это правильно? Подскажите, пожалуйста.

[Хорхе]

Страшная такая формула...

Вам надо всего-навсего определить мат. ожидание показательно распределенной величины (так как она не имеет памяти, то не имеет значения, когда пешеход пришел, ждать ему все равно придется столько же)

[lelische]

Я не понимаю. Пешеход же может перейти после первой машины, второй и т.д.

[Хорхе]

Разницы никакой нет. Все промежутки показательно распределены и, что немаловажно, с одним и тем же параметром. И у всех отсутствует память. Так что не имеет совершенно никакого значения, когда они пришел. Всё как в первый раз

[lelische]

да, это я ступила. Только пешеход же ждет не время между событиями, а время до первого события, после которого будет промежуток больше T. Т.е. если такой промежуток будет после третьего события, например, то пешеходу придется ждать $X_1 + X_2 + X_3$ единиц времени

[new_student]

Здравтсвуйте Хорхе
извиняюсь, можете обьяснить поподробнее данное решение, что-то не могу сам понять