МКР в задаче устойчивости консольного стержня с сжатием

[eugrita]

Уравнение сжатого консольного стержня (переменной жесткости) имеет вид R(x)y^{''}+Py=Py(L)
где R=EI(x)
При применении МКР т.е заменяя y_i''\approx\frac {y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}} {h^2}
получим систему уравнений R_i\frac {y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}} {h^2}+Py_i-Py_N=0(3\leq i \leq N)
y_1=y_2=0
Полученная система линейных уравнений сводится к виду Ay=PBy
или к \lambda y=A^{-1}By где \lambda =1/P
Но в отличие от 2-опорного стержня A – не симметричная 3-диагональная, а B не диагональная (имеет ненулевую главную диагонали и последний столбец)
Т.е вроде задача свелась к несимметричной проблеме собственных значений. Для которой алгоритмы поиска собственных значений и векторов сложней. В частности неприменим метод Якоби. Конечно на это наплевать пользователям Ansys или Лиры. Но как быть рядовому программисту, делающему все ручками?
Правильно ли получены матрицы? Получается что для разных случаев закреплений стержня реализация МКР может усложняться?

[Андрей123]

А может просто попробовать применить метод Эйлера или Рунге-Кутты.

[eugrita]

Какой еще метод Эйлера? ведь задача не на расчет нагрузки а на собственные значения. Зная y1 и y2 мы не можем вычислить y3, так как в уравнение входит еще и $y_N$

[Андрей123]

Если $y(L)=0$, то решение уравнения тривиально $y=0$. Если же не, то вместе с решением $y$ решением является также $\frac{y}{y(L)}$. Поэтому можно считать, что $y(L)=1$. Получаем простое линейное уравнение. Далее можно решать методом Эйлера и проверять существует ли нетривиальное решение вообще. По аналогии со случаем, когда жесткость постоянна, можно предположить, что нетривиальные решения будут возникать, только при не более чем счетном количестве значений $P$.

[eugrita]

спасибо, подумаю

[Zai]

Цитата:

Правильно ли получены матрицы?

Вы задали неудобные граничные условия. Задача о устойчивочти консольной балки идентична задаче о устойчивости балки с закреплениями только по углу поворота в месте консоли балки и с шарнирным закреплением на свободном конце. В этом случае несимметричности будет меньше. Уравнение преобразуеся к виду R(x)y^{''}+Py=0$ с граничнми условиями $y^{'}(0)=0$ и $y(L)=0$

[eugrita]

Да. Просто не догадался. заменой получим
$Rv^{''}+Pv=P$
Изменю нумерацию начиная с 0
$v_0=v_1=0v$
тогда из $(v_2-2v_1+v_0)/h^2+Pv_1=P$
находим $v_2=Ph^2$ и т д
Интересно , это еще прием кроме замены конечн разностью
Кстати меня беспокоило можно ли cчитать $v_1=0$
я где-то прочел что при выходе за границы обл можно пользоваться
заменами $v_{-i}=v_i , v_{n+1}=-v_n$
тогда $y^' (0)=\frac {y_1-y_{-1}}{2h}=\frac {2y_1} {2h}$
т.е $y_1=0$

[eugrita]

получаем
$v_{i+1}=v_i(2- \frac {h^2} {R_i})-v_{i-1}+\frac {P} {R_i} $
полагая P=1 это действительно позволит построить форму. Только как тогда найти собств частоты (спектр)?

-- Вт ноя 09, 2010 13:48:03 --

Zai в сообщении #372385 писал(а):

идентична задаче о устойчивости балки с закреплениями только по углу поворота в месте консоли балки и с шарнирным

т.е просто переходите к балке удвоенной длины с симметричным отражением ступеней сечения? тогда 2 шарнирные опоры с граничн условиями $y(0)=y(2L)=0$