Доказать, или показать на примере, что:

[Апис]

Доказать, или показать на примере, что:
Имеет место быть, система из двух неравенств, при следующих условиях
$ \left\{ {\frac{{p_n - p_{n - 1} > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}}}{{p_{n + 1} - p_n > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}}}} \right\ } $
Где P_n - простое число
n - номер простого числа

[venco]

Что здесь неравенства, которые надо доказать, а что условия?
Почему у Вас в виде дроби написаны два эквивалентных неравенства?
Сформулируйте попонятнее.

[hurtsy]

Апис в сообщении #372373 писал(а):

Доказать, или показать на примере

При $n=2$ имеем $3-2>\frac 1 {\frac {2-1} 2} $ т.е. $1>2$.
Я правильно написал? С уважением,

[hurtsy]

Апис в сообщении #372373 писал(а):

Доказать, или показать на примере, что:
Имеет место быть, система из двух неравенств, при следующих условиях
$ \left\{ {\frac{{p_n - p_{n - 1} > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}}}{{p_{n + 1} - p_n > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}}}} \right\ } $
Где P_n - простое число
n - номер простого числа

Уважаемый Апис! У Вас такая загадочная постановка, и "суровая" манера изложения. Лучше сперва сформулируйте свой результат, а желающие Вам возразить найдутся. С уважением,

[Апис]

Из двух отрезков
$ \left[ {p_n ,\left( {p_n + \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }}} \right)} \right] $ и $ \left[ {p_{n + 1} ,\left( {p_{n + 1} + \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }}} \right)} \right] $
Обязательно, хотя бы на одном из отрезков, есть простое число.
Это утверждение верно для всех n<190
Что бы доказать для всех (n) и нужно доказать: что при любых значениях (n)
$ \left\{ \begin{array}{l} p_n - p_{n - 1} > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }} \\ p_{n + 1} - p_n > \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }} \\ \end{array} \right. $
Системы из двух неравенств, при данных условиях не существует
Или привести пример опровергающий последнее утверждение

[Руст]

Вуличина

$$d_n=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$$

растет примерно как $O(ln p_n)$ точнее $4\gamma \ln p_n$, т.е. эта величина примерно в $2.3$ раза больше чем средняя разница между простыми числами. Соответственно в большинстве случаев это не выполняется. Еще меньше вероятность того, что две подряд идущихся пробелов между простыми числами будет больше этой величины. Поэтому проверка до 190 ни к чему не привело. Запрограммируйте и попробуйте найти такие 3 подряд идущихся простых числа $p_{n-1},p_n,p_{n+1}$ что обе разницы в несколько раз больше среднего. Уверен, что в пределах $10^{12}$ такие найдутся.
Есть доказательство для одной разницы, что бесконечное число раз $p_{n+1}-p_n>ln p_n (\ln \ln p_n)^{1-\epsilon}$. Можно его модернизировать и доказать, что два раза подряд бесконечно много раз $p_{n+1}-p_n>C\ln p_n, p_n-p_{n-1}>C\ln p_n$. При $C>2.3$ получится опровержение вашего утверждения.

[Апис]

Для Руста, я не знаю обоснование по вашим данным, но послушайте мои аргументы
$ \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $ - средняя плотность размещения простых чисел на отрезке $ \left[ {p_n ,p_{n + 1}^2 } \right] $
Это то же самое что и средняя разница между простыми числами на этом же отрезке.
И откуда мне взять величину в 2,3 раза больше, если у меня $ \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $ тоже самое что и средняя разница между простыми числами
Две величины $ \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $ и $ \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{1 - \frac{1}{{p_i }}}}} $ равны

[Руст]

Апис в сообщении #376064 писал(а):

Для Руста, я не знаю обоснование по вашим данным, но послушайте мои аргументы
$ \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $ - средняя плотность размещения простых чисел на отрезке $ \left[ {p_n ,p_{n + 1}^2 } \right] $

$[/math] равны

Это не так. Причем это мы здесь уже обсуждали раньше. К тому же в интервале $[x,x^2]$ средняя плотность будет как вблизи $x^2$, т.е. $\frac{1}{2\ln x}$. Т.е. при переносе к плотности около $p_n$ плотность должен расти в 2 раза. К тому же вычисленная вами плотность несколько ниже реальной.

К тому же все это не важно. Просто можно строго доказать, что бесконечно много раз встретятся такие расстояния, что $p_n-p_{n-1}>C\ln P_n, \ p_{n+1}-p_n>C\ln p_n$ при любом $C$. Чем больше $C$ тем больше окажется такой пример. Для вашего случая $C$ близко $2.3$ я думаю найдется в пределах $10^{12}.$

[svv]

Апис, к сожалению, Вы пропустили в самом начале два подряд идущих "плохих", т.е. слишком больших отрезка без простых чисел.
$p_{46}=199, p_{47}=211, p_{47}-p_{46}=12>\frac 1 {{\prod\limits_{i = 1}^{46} {\frac{p_i - 1} {p_i } } }} =9,6251357107211016... $
$p_{47}=211, p_{48}=223, p_{48}-p_{47}=12>\frac 1 {{\prod\limits_{i = 1}^{47} {\frac{p_i - 1} {p_i } } }} =9,6709696902959639... $

[Апис]

Для cvv.

Цитата:

Вы пропустили в самом начале два подряд идущих "плохих", т.е. слишком больших отрезка без простых чисел.

Спасибо, действительно при n=46 и n=47 - проглядел свои же два нуля.
Такие "плохие" отрезки очень мне интересны
Для Руста.

Цитата:

К тому же вычисленная вами плотность несколько ниже реальной.

Очень интересное для меня замечание, я считал, что погрешность появляется только в процессе вычисления. А формула $ \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} $ не то что бы безгрешна, она не корректируется по величине. Может это и не так.

[Апис]

На отрезке $ \left[ {p_n ,\left( {p_n + \frac{2}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }}} \right)} \right] $ есть простое число.
Это наименьший известный интервал на котором находится обязательно хотя бы одно простое число
Можно пока обойтись и без системы из двух неравенств, достаточно доказать следующее
$ p_{n + 1} - p_n < \frac{2}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $

[Апис]

Всегда возможно найти такой отрезок $ \left[ {p_n ,\left( {p_n + \frac{m}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }}} \right)} \right] $
на котором будет (m) - простых чисел

[Апис]

Доказать, что для всех натуральных (n) верно неравенство
$ p_{n + 1} - p_n < \frac{2}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} \right)} }} $
Доказательство дело хорошее. Но лучше бы найти исключение из правил.
В математике стремятся найти правило. И как правило находят.
Хотя правило, без исключения из правил, не истина, а ограниченность мышления.
Конечно, исключение из правил не должно быть правилом, иначе это ошибка.
Исключение из правила, драгоценность на оправе из правила.

[Руст]

Пора уже понять, что

$$\frac{1}{\prod_{k=1}^n(1-\frac{1}{p_k})}=e^{\gamma}\ln{p_n}(1+o(1)).$$

Соответственно ваше утверждение эквивалентно тому, что пробелы между простыми всегда меньше чем $2e^{\gamma}$ среднего пробела. Я уже несколько раз говорил, что доказано, что бесконечно много пробелов, которрые больше чем средний в $C$ раз, при любом $C$.
Например для простого $P=1 425 172 824 437 699 411$ пробел до следующего простого $1476$ примерно в $35.31$ раз больше среднего.

[Апис]

На отрезке
$ \left[ {p_n ,\left( {p_n + \frac{{p_{n + 1} - p_n }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}} \right)} \right] $
всегда есть простое число.
$ {p_{n + 1} - p_n < \frac{{p_{n + 1} - p_n }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }}} $
это неравенство явное его и доказывать не надо

Не в этом суть

Средняя величина пробела на отрезках $ \left[ {p_n ,p_n^2 } \right] $ величина переменная
Даже не удвоенная средняя величина пробела
$ \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_i - 1}}{{p_i }}} }} $
больше многих $ \left( {p_{n + 1} - p_n } \right) $
разница может быть на много больше еденицы или двойки, или тройки или вашего значения (p=1425172824437699411)
пробел до следующего простого 1476, и что? А какой средний удвоенный пробел для интервала $ \left( {p_n ,p_n^2 } \right) $на котором находится это простое число
Согласитесь что удвоенный средний пробел больше для многих
$ p_{n + 1} - p_n > 2 $
И до каких значений больше$ p_{n + 1} - p_n > ? $
Вполне возможно что удвоенный средний пробел больше самого большого пробела
Мой средний пробел для интервала, и ваш, это две большие разницы