непрерывные функции, задача на теорему Бэра

[smile]

Задача формулируется так: дана последовательность функций $\{f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}\}_{n = 1}^\infty \subset C[0, 1]$. Для любой точки $t \in [0, 1]$ существует $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(t) = f(t) \in \mathbb{R}$ (предел поточечный). Доказать, что у предельной функции существуют точки непрерывности и что существует отрезок, на котором предельная функция ограничена. Понятно, что второе очевидно вытекает из первого. К задаче имеется указание: нужно использовать теорему Бэра.
Попытался решать таким образом: рассмотрим множества $X_n = \{t : |f_n(t) - f(t)| < \epsilon \}$. В силу сходимости $\cup\limits_{n = 1}^{\infty} X_n = [0, 1]$. Получаем, что замыкание какого-то из множеств $X_n$ имеет внутренние точки. Если бы внутренностью обладало само множество, то это бы значило выполнимость второго. Но и это ниоткуда, на мой взгляд, не следует. Прошу помощи в идейном плане. Возможно, стоит пытаться применять теорему Бэра к другому пространству? Полных пространств в этой задаче усматривается три: пространство непрерывных функций на отрезке, пространство ограниченных функций на чем угодно и сам отрезок. Первые два, правда, составлять особенно и не из чего, дана ведь всего одна последовательность функций

[moscwicz]

Теорема Бэра 1: Полное метрическое пространство имеет вторую категорию.

Теорема Бэра 2: Если последовательность нерерывных функций на топ. пространстве $X$ (наверное еще нужна хаусдорфовость) сходится поточено, то множество точек разрыва предельной функции имеет первую категорию.

И еще: всякая функция ограничена в окрестности точки своей непрерывности