Задача формулируется так: дана последовательность функций
![$\{f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}\}_{n = 1}^\infty \subset C[0, 1]$ $\{f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}\}_{n = 1}^\infty \subset C[0, 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/7/fc7f11f6f5362f1d337bbe2e498667fe82.png)
. Для любой точки
![$t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/e/59e87c07670f2da8a7039deede1e2a5682.png)
существует

(предел поточечный). Доказать, что у предельной функции существуют точки непрерывности и что существует отрезок, на котором предельная функция ограничена. Понятно, что второе очевидно вытекает из первого. К задаче имеется указание: нужно использовать теорему Бэра.
Попытался решать таким образом: рассмотрим множества

. В силу сходимости
![$\cup\limits_{n = 1}^{\infty} X_n = [0, 1]$ $\cup\limits_{n = 1}^{\infty} X_n = [0, 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/9/f098623ab84a62fcd43a69a0ffeef39382.png)
. Получаем, что замыкание какого-то из множеств

имеет внутренние точки. Если бы внутренностью обладало само множество, то это бы значило выполнимость второго. Но и это ниоткуда, на мой взгляд, не следует. Прошу помощи в идейном плане. Возможно, стоит пытаться применять теорему Бэра к другому пространству? Полных пространств в этой задаче усматривается три: пространство непрерывных функций на отрезке, пространство ограниченных функций на чем угодно и сам отрезок. Первые два, правда, составлять особенно и не из чего, дана ведь всего одна последовательность функций