Вероятность такого события (суммы экспоненциальных с.в.)

[artonson]

У меня имеется две зависимые случайные величины $\xi_n$ и $\xi_{n+1}$, каждая из которых имеет гамма-распределение, а именно $\xi_n \sim \Gamma(n, a), \xi_{n+1} \sim \Gamma(n+1, a)$. Эти случайные величины зависимы (получены суммированием $n$ и $n+1$ экспоненциально распределенных случайных величин соответственно).

Требуется найти вероятность события $\xi_n \leqslant 1 < \xi_{n+1}$.

Мои размышления пока что ограничились выражением для ф. р. этих случайных величин в виде
$F_{\xi_n}(x) = 1 - \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{(x/a)^k}{k!} e^{-x/a}$

Подозреваю, что ответ $F_{\xi_n}(1) - F_{\xi_{n+1}}(1) = \frac{(1/a)^n}{n!}e^{-1/a}$, но не могу понять, как к нему придти.

[RichardZorgi]

воспользоваться формулой полной вероятности, смотреть на подынтегральное выражение как на вероятность независимых событий, разогнуть интеграл

[malin]

Скорее всего, ваши подозрения неправильные. Попробую дать подсказку.
Определение:
Пусть $\xi$ - случайная величина, $P\{\xi>t\} > 0$, тогда $\xi_t = (\xi - t) /\{\xi > t\}$ (условная с.в.).
Докажите, что если если $\xi \sim Exp(\lambda)$, $\eta$ - независимые случайные величины, то
$\xi_\eta \sim \xi$.
Затем в качестве $\eta$ рассмотрите сверку $n$ экспоненциальных с.в., в качестве $\xi$ возьмите $n+1$ ую экспоненциальную величину, не зависящую от предыдущих.
Далее надо сделать некоторое умственное усилие. Как справитесь, пишите, отвечу, что делать дальше.

-- Вс ноя 07, 2010 03:14:07 --

А еще почитайте про остаточное время жизни элемента в книжках по математической теории надежности.

[--mS--]

malin в сообщении #371652 писал(а):

Скорее всего, ваши подозрения неправильные.

Вы знаете, что такое процесс Пуассона? Это по поводу "неправильности подозрений". Теперь посмотрите на ответ автора и не мешайте ему его получать.

[artonson]

RichardZorgi в сообщении #371639 писал(а):

воспользоваться формулой полной вероятности, смотреть на подынтегральное выражение как на вероятность независимых событий, разогнуть интеграл

Имеете в виду
$P(\xi_n \leqslant 1 < \xi_{n+1}) = P(\xi_n \leqslant 1, \xi_{n+1} > 1) = P(\xi_{n+1} > 1 | \xi_{n} \leqslant 1) P(\xi_{n} \leqslant 1)$

$P(\xi_{n} \leqslant 1)$ - это просто ф.р. $F_{\xi_n}(1)$. А как технически посчитать условную вероятность?
Должно быть что-то такого типа:
$\sum\limits_{\omega: \xi_n(\omega) \leqslant 1}P(\xi_{n+1}(\omega) > 1)$

Или я путаю что-то.

[Phoenix100]

Если я правильно понял условие, то $\xi_{n+1}=\xi_n+\eta$, где $\eta$ - экспоненциально распределённая случайная величина. Тогда вероятность $P(\xi_n\leqslant 1, \xi_{n+1} > 1)=P(\xi_n\leqslant 1, \xi_n+\eta > 1)$ можно посчитать через плотность совместного распределения $\xi_n$ и $\eta$, которая равна произведению плотностей $\xi_n$ и $\eta$, так как они независимы.

[malin]

Цитата:

А как технически посчитать условную вероятность?
Должно быть что-то такого типа:
$\sum\limits_{\omega: \xi_n(\omega) \leqslant 1}P(\xi_{n+1}(\omega) > 1)$

Тут нужно перейти к интегралу:
$P\{\xi_n < x <\xi_n + \eta\} = \int_0^\infty P_{\{\eta = t\}}\{\xi_n < x <\xi_n + \eta\}dF_\eta (t)$ $ =\int_0^\infty P\{\xi_n < x <\xi_n + t\}dF_\eta (t)$ $ =\int_0^\infty (F_\xi_n(x)-F_\xi_n(x-t))dF_\eta (t)$

(Оффтоп)

А почему в последней формуле $\xi$ и $n$ на одном уровне?

[artonson]

Phoenix100 в сообщении #371979 писал(а):

Если я правильно понял условие, то $\xi_{n+1}=\xi_n+\eta$, где $\eta$ - экспоненциально распределённая случайная величина.

Вы совершенно правильно поняли.

malin в сообщении #371998 писал(а):

Тут нужно перейти к интегралу:

Да, понятно, а могу ли я записать таким образом:
$P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta) = P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta | \eta = t) P(\eta = t) =\\ = P(\xi_n < 1 <\xi_n + t | \eta = t) P(\eta = t) = P(1 - t <\xi_n < 1 | \eta = t) P(\eta = t)$
и затем проинтегрировать по всем $t \in [0, \infty)$? Просто мне не особенно понятна ваша запись с $dF_{\eta}(t)$

(Оффтоп)

Чтобы у вас $\xi$ и $n$ были на разных уровнях, нужно заключить $\xi_n$ в фигурные скобки в коде латеха.

[malin]

Цитата:

Да, понятно, а могу ли я записать таким образом:
$P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta) = P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta | \eta = t) P(\eta = t) =\\ = P(\xi_n < 1 <\xi_n + t | \eta = t) P(\eta = t) = P(1 - t <\xi_n < 1 | \eta = t) P(\eta = t)$
и затем проинтегрировать по всем $t \in [0, \infty)$? Просто мне не особенно понятна ваша запись с $dF_{\eta}(t)$

Запись $dF_\eta(t)$ в непрерывном случае означает не более, чем $F_\eta'(t)dt$. В случае непр. распределений $dF_\eta(t) = f_\eta(t)$, то есть плотности распределения.
Если разбираться более глубоко, то это интеграл Стилтьеса.

Насчет же ваших рассуждений мне самому хотелось бы узнать, откуда берется эта формула полной вероятности. Я о ней узнал тоже на этом форуме post358701.html#p358701
Кстати, эту свою задачу я решил более элегантно, без всяких там интегралов(я вначале пытался вам сказать).

[--mS--]

artonson в сообщении #372189 писал(а):

Да, понятно, а могу ли я записать таким образом:
$P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta) = P(\xi_n < 1 <\xi_n + \eta | \eta = t) P(\eta = t) =\\ = P(\xi_n < 1 <\xi_n + t | \eta = t) P(\eta = t) = P(1 - t <\xi_n < 1 | \eta = t) P(\eta = t)$
и затем проинтегрировать по всем $t \in [0, \infty)$?

Нет, не можете. Первая вероятность ни от какого $t$ не зависит, после знака равенства какое-то $t$ появляется в роли свободной переменной. Интеграл по всем $t$ должен стоять после первого знака равенства. К тому же событие $\{\eta=t\}$ имеет нулевую вероятность для всех $t$, так что условная вероятность по такому событию бессмысленна, если её не понимать как вероятность по условию "$\{\eta\in (t,\, t+dt)\}$".

Воспользуйтесь советом от Phoenix100 выше.