2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 3 задачки...!
Сообщение18.10.2006, 08:40 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
1/Делится ли при каком-либо натуральном m ($2006^m$ - 1) на ($1004^m$ - 1) ?

2/В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов сторон и сумма квадратов диагоналей - число a. Найти максимальное значение площади.

3/Какое максимальное число точек, расстояние между которыми не менее 1, можно поместить в кольцо с внутренним радиусом 1 и внешним $\sqrt{2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А где же Ваши собственные идеи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 08:00 


21/06/06
1721
Что касается первой задачи, то легко видеть, что число 1004 в m-й степени без единицы всегда делится на 1003 (применяем формулу разложения разности m-x степеней). Ту же самую формулу применяем и к выражению 2006 в m-й степени без единицы. Откуда легко получаем разложение, которое точно не делится на 1003. Итак первое выражение никогда не делится на 1003, а второе всегда, отсюда следует, что такого m нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Во второй задаче ответ a/4. Надо использовать формулу для площади
$$S=1/2(AB\cdot BC\sin\angle B+CD\cdot DA\sin\angle D).$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 13:28 
Заслуженный участник


01/12/05
458
В третьей задаче нужно сравнить 2 способа размещения(величину занимаемого центрального угла) - точки лежат на внешней окружности, либо чередуются - одна на внешней, одна на внутренней, так что касаются окружности, проведенные с центром в них. По-видимому, оптимальным будет именно второй способ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 15:02 


21/06/06
1721
А вот для второй задачи непонятно, как уважаемый RIP, пришел к такому ответу.

Ну вот площадь равна 1/4*(ab*sin(alpha)+bc*sin(beta)+cd+sin(gamma)+da*sin(delata))
где alpha, beta, gamma и delta углф между соответствующими сторонами.

Далее имеем (применяя теорему косинусов)
a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2=2*(a^2+b^2+c^2+d^2)-(ab*cos(alpha)+bc*cos(beta)+cd+cos(gamma)+da*cos(delata)).

Но что далььше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Перечитал условие, и встал такой вопрос. Там суммы по отдельности равны a(тогда достаточно только, чтобы одна из них равнялась a) или в сумме(тогда ответ a/8.) Надо использовать(кроме написанной выше) формулу
$$S=1/2AC\cdot BD\sin\angle(AC,BD),$$
а также неравенства $\sin\alpha\leqslant1$ и $ab\leqslant1/2(a^2+b^2)$.
Для квадрата, очевидно, равенство достигается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group