3 задачки...!

[Antonina]

1/Делится ли при каком-либо натуральном m ($2006^m$ - 1) на ($1004^m$ - 1) ?

2/В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов сторон и сумма квадратов диагоналей - число a. Найти максимальное значение площади.

3/Какое максимальное число точек, расстояние между которыми не менее 1, можно поместить в кольцо с внутренним радиусом 1 и внешним $\sqrt{2}$ ?

[Brukvalub]

А где же Ваши собственные идеи?

[Sasha2]

Что касается первой задачи, то легко видеть, что число 1004 в m-й степени без единицы всегда делится на 1003 (применяем формулу разложения разности m-x степеней). Ту же самую формулу применяем и к выражению 2006 в m-й степени без единицы. Откуда легко получаем разложение, которое точно не делится на 1003. Итак первое выражение никогда не делится на 1003, а второе всегда, отсюда следует, что такого m нет.

[RIP]

Во второй задаче ответ a/4. Надо использовать формулу для площади

$$S=1/2(AB\cdot BC\sin\angle B+CD\cdot DA\sin\angle D).$$

[Юстас]

В третьей задаче нужно сравнить 2 способа размещения(величину занимаемого центрального угла) - точки лежат на внешней окружности, либо чередуются - одна на внешней, одна на внутренней, так что касаются окружности, проведенные с центром в них. По-видимому, оптимальным будет именно второй способ.

[Sasha2]

А вот для второй задачи непонятно, как уважаемый RIP, пришел к такому ответу.

Ну вот площадь равна 1/4*(ab*sin(alpha)+bc*sin(beta)+cd+sin(gamma)+da*sin(delata))
где alpha, beta, gamma и delta углф между соответствующими сторонами.

Далее имеем (применяя теорему косинусов)
a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2=2*(a^2+b^2+c^2+d^2)-(ab*cos(alpha)+bc*cos(beta)+cd+cos(gamma)+da*cos(delata)).

Но что далььше?

[RIP]

Перечитал условие, и встал такой вопрос. Там суммы по отдельности равны a(тогда достаточно только, чтобы одна из них равнялась a) или в сумме(тогда ответ a/8.) Надо использовать(кроме написанной выше) формулу

$$S=1/2AC\cdot BD\sin\angle(AC,BD),$$

а также неравенства $\sin\alpha\leqslant1$ и $ab\leqslant1/2(a^2+b^2)$.
Для квадрата, очевидно, равенство достигается.