Аппроксимация сплайна дугами окружностей

[Алексей К.]

Ну вот, и библиографические ссылки начинают появляться:

журнал Graphical Models писал(а):

Spiral Fat Arcs – Bounding Regions with Cubic Convergence

Michael Bartoň, and Gershon Elber
Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 32000, Israel
Received 17 August 2010; revised 25 October 2010; accepted 27 October 2010. Available online 4 November 2010.
Abstract
A bounding region for spiral curve segments shaped by two circular arcs, parts of the osculating circles at the spiral’s endpoints, and two lines is introduced. This bounding region, denoted Spiral Fat Arc ($\mathscr{SFA}$) is simple to construct and process, and shows a cubic approximation order to a given spiral curve.
Given a general planar parametric curve, it can be split at curvature extrema (and inflection points), solving for the parametric locations for which κ’ = 0 (and κ = 0), κ being the signed curvature field, to yield a set of spiral curves. Each of the spirals is then fitted with a bounding ($\mathscr{SFA}$).
Finding the intersection locations of two free-form planar curves is a fundamental task in geometric computing and computer aided design, and can immediately benefit from this new ($\mathscr{SFA}$) bounding region. A recursive curve-curve intersection (CCI) algorithm that efficiently computes the intersection location of two parametric curves using ($\mathscr{SFA}$)s is also introduced.
Keywords: spiral; monotone curvature; curve-curve intersection; bounding regions; fat-arcs

Статью не читал (может, у кого-нть есть доступ?). Но многое сходится:
Cubic Convergence:

Алексей К. в сообщении #358265 писал(а):

c) Количество узлов увеличено с 11 до 15. При увеличении количества точек в n раз ширина области уменьшается в n^3 раз.

"it can be split at curvature extrema (and inflection points), solving for the parametric locations for which κ’ = 0 (and κ = 0),"

Алексей К. в сообщении #358265 писал(а):

Мы разбиваем кривую на достаточно малые отрезки-дуги следующим образом:
(1) выделяем вершины кривой; таким образом, кривизна на каждом участке будет монотонна, ...

Я, наоборот, подчеркиваю, что точки перегиба не нужны (это просто традиция, от которой писатели в этой области не могут отказаться):

Алексей К. в сообщении #358265 писал(а):

... (будет там внутри перегиб или нет --- нам до лампочки); ...

"A bounding region ... shaped by two circular arcs, parts of the osculating circles at the spiral’s endpoints, ...:

Алексей К. в сообщении #358799 писал(а):

Дуга $AT_1$, часть бидуги $AT_1B$, имеет кривизну $k_1$, ту самую, что и наша оригинальная кривая в точке $A$.
Дуга $T_2B$, часть бидуги $AT_2B$, имеет кривизну $k_2$, ту самую, что и наша оригинальная кривая в точке $B$.

Может, у кого-нибудь есть доступ?

[Алексей К.]

Вот, обнаружились взаимно ортогональные семейства бидуг (картинка).

[e7e5]

А можно ли тридужку на сфере строить? ( т.е использовать аналогичный подход).

[Алексей К.]

3D-аналогии этих задач мне сформулировать сходу не удалось, да и нужды особой не было. А в 3D я хожу только по большой нужде.
Аналогии на сфере, наверное, сформулировать проще, но пусть это делают те, кому интересно.
Стереографическая проекция переведёт плоскую тридугу в сферическую, и наоборот.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #486337 писал(а):

Стереографическая проекция переведёт плоскую тридугу в сферическую, и наоборот.

Т.е Вы предлагается использовать стереографицескую проекцию, чтобы преобразовать тридугу на плоскости в сферическую тридугу? Или можно поробовать записать по аналогии задаче на плоскости условия, но только для сферы, а затем попробовать все это порешать?

Могли бы вы хотя бы приблеженно на словах сформулировать возможные варианты ( подумаю на досуге над решениями)? Спасибо.

[Алексей К.]

Иным гражданам до лампочки, хоть на сфере строить, хоть на плоскости, хоть грани гиперкуба перебирать.
А я умею только на плоскости (и Землю считаю плоской, да). Стало быть, ежели бы кто-то поставил передо мной задачку нарисовать на сфере гладкую кусочно-круговую кривую с заданными граничными условиями, я бы свёл задачу к плоской, поскольку я её уже решил. При этом точка на макушке сферы меня даже не испугала бы.

-- 28 сен 2011, 18:39 --

e7e5 в сообщении #487093 писал(а):

сформулировать возможные варианты

Ну то есть я вижу два варианта, а для себя один.

[USSR]

"Стало быть, ежели бы кто-то поставил передо мной задачку нарисовать на сфере гладкую кусочно-круговую кривую с заданными граничными условиями, я бы свёл задачу к плоской, поскольку я её уже решил."

Какому закону помимо монотонности в вашем случае подчиняется кривизна?
К примеру, кривые Безье класса А

http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 960600032X

при degree elevation сходятся к логарифмической спирали.

[Алексей К.]

Вы плохо привели цитату (был бы я ябедой, то даже указал бы, что с нарушением правил форума: где-то там и про оформление цитат говорилось). Думаю, это писал я, здесь на форуме, но не помню, по какому поводу.

USSR в сообщении #521206 писал(а):

в вашем случае

А что такое "мой случай"?

Упомянутая Вами статья мне не знакома, 20 баксов жалко. Да и 3D геометрию не знаю, т.к. всю жизнь прожил на плоскости. Догадываюсь только, что свойства плоских кривых на 3D так просто не переносятся (например, затронутые выше следствия монотонности кривизны, или теорема о 4-х вершинах замкнутой кривой).

[USSR]

Алексей К. в сообщении #521228 писал(а):

Вы плохо привели цитату (был бы я ябедой, то даже указал бы, что с нарушением правил форума: где-то там и про оформление цитат говорилось).

Алексей, многим важнее правильно приводить цитаты в статьях, а не студенческих форумах.

Алексей К. в сообщении #521228 писал(а):

А что такое "мой случай"?

Ну, к примеру, в работе про инверсию. В CAGD важно как именно изменяется кривизна кривой. К примеру, многие high-quality curves (fair curves) имеют $\kappa(s)=a s^b$.

Алексей К. в сообщении #521228 писал(а):

Упомянутая Вами статья мне не знакома, 20 баксов жалко.

Значит вы очень отстали от остального мира. Пришлите мне в личку ваш электронный адрес, я вышлю статью.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

USSR в сообщении #521597 писал(а):

Значит вы очень отстали от остального мира.

Нет, не значит.

[USSR]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #521616 писал(а):

Заметьте, в affiliation я даже не указал название ресторана, в котором сейчас кулинарю.

Вы что, повар? Спиралевидные ракушки умеете готовить?

Алексей К. в сообщении #521616 писал(а):

С этим не соглашусь, но и ля-ля особо не хочется

Спросите у дизайнеров, работающих в ведущих автомобилестроительных компаниях мира.

[Алексей К.]

USSR в сообщении #521597 писал(а):

К примеру, многие high-quality curves (fair curves) имеют $\kappa(s)=a s^b$.

Вы путаете разные задачи. Кто задаёт столь узкий класс уравнений натуральных, тот уже не может свободно распоряжаться граничными условиями (только G1). А кого волнуют более сильные (G2) граничные условия, тот довольствуется получающимися зависимостями $k(s)$. Существуют ГУ, которые без разрыва кривизны монотонно не удовлетворить.

[USSR]

Алексей К. в сообщении #521634 писал(а):

Вы путаете разные задачи.

Я ничего не путаю.

Алексей К. в сообщении #521634 писал(а):

Кто задаёт столь узкий класс уравнений натуральных, тот уже не может свободно распоряжаться граничными условиями (только G1). А кого волнуют более сильные (G2) граничные условия, тот довольствуется получающимися зависимостями $k(s)$.

Согласен.

[Toucan]

USSR,
пожалуйста, убирайте лишние пустые строки из сообщений.

[USSR]

Мне весьма интересно, Алексей, а где Ваши превосходные рисунки были нарисованы, в какой системе динамической геометрии, или все же в СКМ?