Существование решения однородного уравнения Фредгольма

[Владимир [unn]]

Всем добрый день.
Возможно, вопрос идиотский, но никак не могу вспомнить/найти ответ:

Как доказать наличие/отсутсвие нетривиального решения однородного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода:
$y(x)-\lambda\int_a^b K(x,s)y(s)dx=0$

Есть одна идиотская мысль:
(а) альтернатива фредгольма говорит, то либо данное однородное уравнение имеет нетривиальное решение, либо неоднородное уравнение с тем же ядром разрешимо при любой правой части.
(б) если ядро $K(x,s)$ интегрируемо с квадратом, тогда у неоднородного уравнения есть решение в виде ряда неймана
т.е. можно если ядро интегрируемо с квадратом, то однородное ур-е не имеет решение
а вот справедливо-ли обратное?

вторая идиотская мысль - для доказательства существования однородного решения найти такую правую часть для неоднородного, при котором бы оно не имело решения...

P.S. на всякий случай, частный случай вопроса. у меня уравнение вида:
$y(x)-\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-hs-\frac{x^2}2e^{-2hs}\right)y(s)ds=0$
Из общефизических соображений, приведших к данному уравнению, решение должно существовать, вот только как доказать это я не знаю...

[moscwicz]

если, например интегральное ядро симметрично и интегрируемо с квадратом, то имеется спектральная теорема Гильберта -Шмидта для вполне ограниенного самосопряженного оператора

[Владимир [unn]]

да, про симметричные ядра я нашел, а вот что делать в общем случае?

[moscwicz]

боюсь, что каких-то универсальных конструктивных теорем Вы не найдете

[shwedka]

В общем виде сказть ничего нельзя. Может быть совсем плохо. В крайнем случае оператора Вольтерра собственных значений нет вовсе.

А Ваше уравнение... посмотрите, не симметризуется ли оно заменой переменной
$s=e^{-hy}.$ я не считала, но как-то подозрительно.

[ewert]

shwedka в сообщении #372274 писал(а):

не симметризуется ли оно заменой переменной

Нет: экспонента в один игрек проникнет, а в другой -- нет.

Владимир [unn] в сообщении #371342 писал(а):

решение должно существовать,

У Вас норма интегрального оператора в пространстве $L_{1}(-\infty;+\infty)$ равна в точности единичке. Но достигается она на функции, тождественно равной единичке (ну или пропорциональной ей, конечно), и только на ней. Которая в $L_{1}$ не входит, и вообще ни в какое $L_{p}$ не входит. Соответственно, единица не является собственным числом, т.е. это однородное уравнение решений не имеет.

(надеюсь, я ничего не напутал)

[moscwicz]

ewert в сообщении #372304 писал(а):

У Вас норма интегрального оператора в пространстве $L_{1}(-\infty;+\infty)$ равна в точности единичке. Но достигается она на функции, тождественно равной единичке (ну или пропорциональной ей, конечно), и только на ней. Которая в $L_{1}$ не входит, и вообще ни в какое $L_{p}$ не входит. Соответственно, единица не является собственным числом, т.е. это однородное уравнение решений не имеет.

в $L^1(\mathbb{R})$ не имеет решений, Вы же в $L^2(\mathbb{R})$ норму этого оператора не считали, вдруг она там равна 3.

[ewert]

moscwicz в сообщении #372311 писал(а):

в $L^1(\mathbb{R})$ не имеет решений, Вы же в $L^2(\mathbb{R})$ норму этого оператора не считали, вдруг она там равна 3.

Так нам же норма нужна не сама по себе, а лишь для того, чтобы убедиться в отсутствии собственных функций. И если их нет в $L_1(\mathbb{R})$ -- с чего бы им появиться в $L_2(\mathbb{R})$?

[moscwicz]

ewert в сообщении #372312 писал(а):

И если их нет в $L_1(\mathbb{R})$ -- с чего бы им появиться в $L_2(\mathbb{R})$?

почему нет? ведь $L_2(\mathbb{R})$ не принадлежит $L_1(\mathbb{R})$

[Владимир [unn]]

ewert в сообщении #372304 писал(а):

У Вас норма интегрального оператора в пространстве $L_{1}(-\infty;+\infty)$ равна в точности единичке. Но достигается она на функции, тождественно равной единичке (ну или пропорциональной ей, конечно), и только на ней. Которая в $L_{1}$ не входит, и вообще ни в какое $L_{p}$ не входит. Соответственно, единица не является собственным числом, т.е. это однородное уравнение решений не имеет.

а не подскажете, как вы получили норму этого оператора в $L_{1}$?

[ewert]

Владимир [unn] в сообщении #372685 писал(а):

а не подскажете, как вы получили норму этого оператора в $L_{1}$?

По стандартной формуле: если $v=Au\ \Leftrightarrow\ v(x)=\int\limits_{\Omega}K(x,s)u(s)\,ds$, то $\|A\|_{L_1}=\sup\limits_s\int\limits_{\Omega}|K(x,s)|\,dx$.

moscwicz в сообщении #372324 писал(а):

почему нет? ведь $L_2(\mathbb{R})$ не принадлежит $L_1(\mathbb{R})$

Но я же и не утверждал, что моё решение точное; не зря же оговорился: "надеюсь, я ничего не напутал". Тем не менее, как-то кажется невероятным, чтобы собственная функция в $L_2$ нашлась. Как обосновать формально -- пока не придумал.