Порядок топологической связности

[AlexDem]

Всем привет!

Что-то не могу разобраться вот с каким вопросом:

пусть имеем некоторое множество X аргументов и множество F определенных на нем функций: f: X -> X, причем на функции могут налагаться некоторые ограничения, так что F может не быть множеством всех функций, определенных на множестве X.

Корректно ли ставить вопрос о том, каков порядок топологической связности множества F (т.е. что оно из себя представляет - сферу, тор и т.п.). И если да, то как бы попроще его посчитать?

Спасибо

[Brukvalub]

Хотелось бы прежде узнать, почему рассматриваемый Вами объект становится , например, просто топологическим пространством (т.е. какая на нем определена топология?). Например, если множество Х конечно, то и множество даже всех возможных функций тоже будет конечным, а если Х - бесконечно, то типичной будет ситуация, в которой множество функций будет иметь приличную мощность и т.п.

[AlexDem]

В моем случае в зависимости от вида ограничений в F входят те или иные функции, но оно всегда остается замкнутым относительно операции суперпозиции, т.е. образует симметрическую полугруппу G. Насколько я понимаю, на ней можно ввести метрику - расстояние между функциями, следовательно G - метризуемое пространство, значит - топологическое пространство. Причем от выбранной метрики свойства пространства G зависеть не должны, так?

Множество X вообще-то бесконечное - оно счетно, но будут ли зависеть топологические свойства G от мощности множества X?

[Brukvalub]

А как ввести расстояние, если само Х не будет метрическим пространством?

[AlexDem]

Ничто не мешает нам поставить в соответствие элементам множества X множество Z в данном случае целых чисел. Если X - конечное, то Z следует брать конечным. Соответственно, на X можно будет задать метрику.

[AlexDem]

Вроде теперь топологическое пространство определено? Можно ли считать порядком связности количество замкнутых циклов в G относительно суперпозиции функций из F?

Например, берем любую функцию $f_1 \in \mathbb{F}$, получаем ее суперпозицию $f_1 \circ f_1 \circ f_1 \circ ...$, все полученные функции - первый цикл, берем вторую - повторяем то же самое, и т.д.

Потом смотрим - нет ли в множестве $\mathbb{F}$ функций, способных объединить циклы, то есть будучи примененными к циклу-1 способных привести к функции цикла-2, и т.п. Объединив таким образом циклы, в итоге получим либо один, либо несколько циклов, которые гарантированно не переводятся один в другой.

Можно ли считать, что таким образом мы получили количество "выколотых точек" в пространстве $\mathbb{G}$, а следовательно - порядок его связности? И как бы его посчитать на бесконечных множествах?..

[Brukvalub]

Самое начало Вашей конструкции кажется мне очень подозрительным: вводимая Вами метрика завязана на некое абстрактное отождествление счетного множества Х с множеством целых чисел. Неочевидно, что различные способы такого отождествления породят одну и ту же топологию. Я бы начал с попытки доказательства именно этого факта, хотя и сильно не уверен в его справедливости. А так - Вы строите "дом на песке".

[AlexDem]

Если рассматривать функцию как отображение (а так оно и есть), ставящее в соответствие одни объекты множества X другим объектам множества X, то действительно неважно, какие числа мы припишем объектам из X - лишь бы одному объекту всегда соответствовало одно число.

Пусть некоторая $f_1 \in \mathbb{F}$ задает пары <a b>, <c d>, <e k>, где $a, b, c, d, e, k \in \mathbb{X}$, а другая $f_2 \in \mathbb{F}$ - пары <b k>, <c a>, <d b>. Тогда какое бы число мы не приписали каждой букве, на сами отображения это не повлияет - мы получим те же пары, записанные другими символами. И если $f_2(f_1(a)) = k$, то заменив a -> 1, k-> 2, мы получим $f_2(f_1(1)) = 2$, а заменив a -> 10, k-> 20, получим $f_2(f_1(10)) = 20$.

Другое дело, что графики отображений будут меняться из-за того, что на координатной плоскости мы упорядочиваем пары по возрастанию номеров. Но, по-моему, это существа дела не меняет...

[Brukvalub]

Разные отождествления множеств X и Z бутут порождать разные метрики на множестве функций, то есть,возможно, и разные топологии.
Тогда окажется некорректной вся конструкция.

[Someone]

AlexDem писал(а):

Например, берем любую функцию $f_1 \in \mathbb{F}$, получаем ее суперпозицию $f_1 \circ f_1 \circ f_1 \circ ...$, все полученные функции - первый цикл, берем вторую - повторяем то же самое, и т.д.

Потом смотрим - нет ли в множестве $\mathbb{F}$ функций, способных объединить циклы, то есть будучи примененными к циклу-1 способных привести к функции цикла-2, и т.п. Объединив таким образом циклы, в итоге получим либо один, либо несколько циклов, которые гарантированно не переводятся один в другой.

А какое это имеет отношение к топологии?

[Someone]

AlexDem писал(а):

Ничто не мешает нам поставить в соответствие элементам множества X множество Z в данном случае целых чисел. Если X - конечное, то Z следует брать конечным. Соответственно, на X можно будет задать метрику.

У Вас получится вполне несвязное метрическое пространство, а в конечном случае - просто дискретное (потому что конечное). О какой связности там можно говорить?

[AlexDem]

Цитата:

У Вас получится вполне несвязное метрическое пространство, а в конечном случае - просто дискретное

Но мы ведь рассматриваем топологию пространства функций G, если Z - счетно, то G может быть континуумом. Почему оно вполне не связно? Тех циклов, которые я рассмотрел, в результате может быть всего 1...

Чтобы не запутаться еще больше, может стоит зайти с другого конца? Исходные условия:
1) Я в этой теме "вполне плаваю" в том смысле, что мало что знаю, но хочу разобраться.
2) Рассмотрим тогда "хорошие" метрические пространства - числовые поля.

Так, декартова плоскость $R^2$ является пространством $P_1$, то есть гомеоморфна тору. В то же время проективная плоскость комплексных чисел $C$, получающаяся из декартовой добавлением бесконечно удаленных точек, является пространством $N_1$, а та же проективная плоскость, дополненная еще одной бесконечно удаленной точкой - гомеоморфна сфере $P_0$.

Вопросы:
1) Как получить эти гомеоморфизмы исходя из самих множеств $R^2$ и $C$?
2) Если в проективной плоскости $N_1$ "выколоть" всего одну точку, скажем 0, то какое пространство получится?
3) Если я правильно понял, то мы можем сказать, что, например, $R^2$ или какое-то множество большей мощности - евклидово пространство, но тот же вопрос по отношению к счетному $Z^2$ целых чисел смысла не имеет, т.к. оно вполне несвязно? Дискриминация получается

[Someone]

AlexDem писал(а):

Цитата:

У Вас получится вполне несвязное метрическое пространство, а в конечном случае - просто дискретное

Но мы ведь рассматриваем топологию пространства функций G, если Z - счетно, то G может быть континуумом. Почему оно вполне не связно?

Вы на самом деле не определили топологию пространства функций. Поэтому, строго говоря, я не могу однозначно ответить на Ваш вопрос. Мощность множества функций к Вашему вопросу имеет достаточно слабое отношение, всё дело в определении топологии. Способы определения топологии на множествах функций (отображений топологических пространств) можно посмотреть в параграфах 2.6 и 3.4 книги

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

Например, рассмотрим счётное $Z$. Если оно имеет метризуемую топологию, то оно нульмерно (Вы, кажется, хотите использовать на нём дискретную топологию, которую имеет натуральный ряд; более интересной является топология множества рациональных чисел). Пространство $G$ непрерывных отображений $Z\to Z$ можно снабдить, например, топологией поточечной сходимости. Тогда $G$ гомеоморфно подмножеству счётной степени $Z$, которая является нульмерным метрическим пространством, поэтому и $G$ является нульмерным метрическим пространством. В частности, в нём нет связных подмножеств, содержащих больше одной точки.

AlexDem писал(а):

Тех циклов, которые я рассмотрел, в результате может быть всего 1...

А какое отношение эти циклы имеют к топологии? Это алгебра. Вас интересует алгебраическая структура? Без необходимости не впутывайте сюда топологию. Это не означает, что топологическая и алгебраическая структуры никак не взаимодействуют и не влияют друг на друга, но, боюсь, связь между ними не столь прямолинейна, как Вам хочется.

AlexDem писал(а):

Так, декартова плоскость $R^2$ является пространством $P_1$, то есть гомеоморфна тору.

Откуда Вы почерпнули такие сведения? Плоскость $\mathbb R^2$ и тор $T^2$, где $T$ - окружность, - совершенно разные пространства.

AlexDem писал(а):

В то же время проективная плоскость комплексных чисел $C$,

Множество комплексных чисел $\mathbb C$ гомеоморфно плоскости $\mathbb R^2$. А проективная плоскость $P^2$ устроена более хитро.

AlexDem писал(а):

а та же проективная плоскость, дополненная еще одной бесконечно удаленной точкой - гомеоморфна сфере $P_0$.

Проективную плоскость нельзя уже пополнить ещё одной бесконечно удалённой точкой. Она уже пополнена "окончательно".

AlexDem писал(а):

1) Как получить эти гомеоморфизмы исходя из самих множеств $R^2$ и $C$?

Гомеоморфизм $\mathbb R^2$ на $\mathbb C$? Очень просто: точке $(x,y)\in\mathbb R^2$ ставим в соответствие комплексное число $x+yi\in\mathbb C$.

AlexDem писал(а):

2) Если в проективной плоскости $N_1$ "выколоть" всего одну точку, скажем 0, то какое пространство получится?

Если из проективной плоскости $P^2$ "выколоть" одну точку, то получится лист Мёбиуса без граничной окружности (она не выглядит как обычная окружность в евклидовой геометрии, но гомеоморфна ей).

AlexDem писал(а):

3) Если я правильно понял, то мы можем сказать, что, например, $R^2$ или какое-то множество большей мощности - евклидово пространство, но тот же вопрос по отношению к счетному $Z^2$ целых чисел смысла не имеет, т.к. оно вполне несвязно? Дискриминация получается :)

Вопрос непонятен. Вообще говоря, размерность с мощностью слабо связана, но если топологическое пространство достаточно хорошее, чтобы можно было определить его размерность (в смысле $\dim$), и эта размерность больше нуля, то мощность пространства не меньше континуума.

[AlexDem]

Цитата:

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

Спаситель!
Посмотрю. Вот бы еще нам нашлись ответы на нижеследующие вопросы!

Цитата:

А какое отношение эти циклы имеют к топологии?

Мне представлялось, что по крайней мере наличие циклов отвечает на вопрос - связно ли множество F - выводимость функций друг из друга по суперпозиции в принципе можно было бы ассоциировать с расстоянием между ними. В любом случае никаких других идей не было.

Цитата:

Откуда Вы почерпнули такие сведения?

Затрудняюсь сказать точно, возможно, из схем отождествления крайних точек прямоугольника для листа Мебиуса и тора, данных в Шапиро, Ольшанецкий "Лекции по топологии для физиков", кроме того, сыграла роль 5-я аксиома Евклида, которая для тора, похоже, справедлива.

В Болтянский, Ефремович "Наглядная топология" утверждается, что все замкнутые ориентируемые поверхности сводятся к классам $P_0, P_1, ...$, а неориентируемые - к $N_0, N_1, ...$. Проективная плоскость - это $N_0$, сфера - $P_0$.

Поскольку $R^2$ - это явно не $P_0$, я счел, что это $P_1$ - тор. Если это неверно, какой же тогда поверхности по данной классификации соответствует $R^2$?

Или ключевое слово здесь - замкнутые? Хотя вот тут http://www.chelas.org/forums.php?m=posts&q=209&d=20 на форуме вроде тоже пишут, что "сфера с выколотой точкой все-таки эквивалентна всей плоскости. Об этом - прямо на первой странице книги А.Т.Фоменко "Наглядная геометрия и топология""

Цитата:

Множество комплексных чисел $\mathbb C$ гомеоморфно плоскости $\mathbb R^2$.

Да понятно, отчего каша в голове В той же книге для физиков на с.7 читаем: "тот факт, что не существует аналитических отличных от константы функций, аналитичных во всей комплексной плоскости, включая бесконечно удаленную точку, есть следствие топологической эквивалентности комплексной плоскости 2-мерной сфере".

Цитата:

Гомеоморфизм $\mathbb R^2$ на $\mathbb C$? Очень просто: точке $(x,y)\in\mathbb R^2$ ставим в соответствие комплексное число $x+yi\in\mathbb C$.

Очень интересно. Равномощность множеств можно доказать, установив взаимно однозначное соответствие между их элементами. Здесь тот же факт используется для установления гомеоморфности. Значит ли это, что множества, образующие пространства разного порядка связности, неравномощны?

Прошу прощения, если надоел своими вопросами

[Someone]

AlexDem писал(а):

В Болтянский, Ефремович "Наглядная топология" утверждается, что все замкнутые ориентируемые поверхности сводятся к классам $P_0, P_1, ...$, а неориентируемые - к $N_0, N_1, ...$. Проективная плоскость - это $N_0$, сфера - $P_0$.

Поскольку $R^2$ - это явно не $P_0$, я счел, что это $P_1$ - тор. Если это неверно, какой же тогда поверхности по данной классификации соответствует $R^2$?

Никакой.

AlexDem писал(а):

Или ключевое слово здесь - замкнутые?

Вот именно. Классификация относится к замкнутым, то есть, компактным поверхностям. Плоскость некомпактна. Тор компактен. Поэтому тор в этой классификации есть, а плоскости нет.

AlexDem писал(а):

Хотя вот тут http://www.chelas.org/forums.php?m=posts&q=209&d=20 на форуме вроде тоже пишут, что "сфера с выколотой точкой все-таки эквивалентна всей плоскости. Об этом - прямо на первой странице книги А.Т.Фоменко "Наглядная геометрия и топология""

Совершенно верно. Выкалывая из сферы одну точку, получаем поверхность, гомеоморфную плоскости (такое же соотношение между $\mathbb R^n$ и $n$-мерной сферой $S^n$: выкалывая из $S^n$ одну точку, получаем пространство, гомеоморфное $\mathbb R^n$). В учебниках по ТФКП обычно объясняется стереографическая проекция, которая показывает это наглядно.

AlexDem писал(а):

Цитата:

Множество комплексных чисел $\mathbb C$ гомеоморфно плоскости $\mathbb R^2$.

Да понятно, отчего каша в голове :) В той же книге для физиков на с.7 читаем: "тот факт, что не существует аналитических отличных от константы функций, аналитичных во всей комплексной плоскости, включая бесконечно удаленную точку, есть следствие топологической эквивалентности комплексной плоскости 2-мерной сфере".

Вы не очень внимательно прочли этот фрагмент. Там сказано: "включая бесконечно удалённую точку". То есть, речь идёт о так называемой расширенной комплексной плоскости, которая, с точки зрения топологии, гомеоморфна сфере (см. предыдущий абзац). Кстати, термины "гомеоморфизм" и "топологическая эквивалентность" являются синонимами.

AlexDem писал(а):

Цитата:

Гомеоморфизм $\mathbb R^2$ на $\mathbb C$? Очень просто: точке $(x,y)\in\mathbb R^2$ ставим в соответствие комплексное число $x+yi\in\mathbb C$.

Очень интересно. Равномощность множеств можно доказать, установив взаимно однозначное соответствие между их элементами. Здесь тот же факт используется для установления гомеоморфности.

Гомеоморфизм двух топологических пространств - это непрерывное взаимно однозначное отображение, обратное к которому тоже непрерывно.

AlexDem писал(а):

Значит ли это, что множества, образующие пространства разного порядка связности, неравномощны?

Нет, конечно. Порядок связности относится к алгебраической топологии. С мощностью он связан слабо. Мощности всех компактных (замкнутых) поверхностей одинаковы, а порядки связности у них самые разные.