Сумма ряда (численное решение для комбинаторной задачи)

[Ales]

А если так: $x=1-\frac y k$
Тогда ответ имеет вид: $\frac {k^n} {y^n(y+1)}$.
Где $lny+y+\frac {y^2}{2k}+\frac {y^3}{3k^2}=lnk$.

Применить метод Ньютона, начиная с $y= lnk-lnlnk$.
Кажется, быстро.

$n=1.5*10^{12}$
$k=2*10^8$

[Хорхе]

Мне вот тоже много чего кажется.

Padawan, а Ваш Maple не может возвести асимптотику в степень $k^{3/2}$?

[Ales]

Если еще взять $z=\frac y {20}$.
Ответ: $10^{10500000000000} \frac 1 {z^n(1+lnk-lnlnk)}$.
Что равно $10^{10500000000000} \frac 1 {17.3z^n}$.
$z=0.8....$ и
$lnz+20z+10^{-6}z^2+66*10^{-15}z^3=7ln10$.
Вычислить $z$ с точностью до 15 знаков не трудно.

[Хорхе]

С точностью до пятнадцати знаков? Не смешите, этого недостаточно.

Я уже дважды написал, напишу и в третий раз -- внимательно посмотрите на показатель степени при $z$. Вам нужно не пятнадцать, а зиллион знаков.

Вот поэтому надо искать асимптотику не для того, что возводится в степень, а для степени. Там надо не зиллион знаков, а всего два.

[Ales]

Хорхе в сообщении #371304 писал(а):

С точностью до пятнадцати знаков? Не смешите, этого недостаточно.

Я уже дважды написал, напишу и в третий раз -- внимательно посмотрите на показатель степени при $z$. Вам нужно не пятнадцать, а зиллион знаков.

Вот поэтому надо искать асимптотику не для того, что возводится в степень, а для степени. Там надо не зиллион знаков, а всего два.

Нам же надо найти с относительной точностью 10%, разве не верно, что:
$(z(1+10^{-15}))^{2*10^{12}}=z^{2*10^{12}}$

[Хорхе]

(Уже ничего не соображаю, прошу прощения)

Да, правильно. То есть один из возможных алгоритмов такой -- посчитать $w(k)$ в любимом математическом пакете с огромной точностью, подставить в формулу, данную Padawan'ом и получить ответ.

-- Сб ноя 06, 2010 15:06:21 --

То есть получается так (при $k=2\cdot 10^8$, $n=3\cdot 10^{20}$):

$$ N \approx \frac{1}{w-1} \left(\frac k w\right)^{n/k}\exp\left\{\frac{w^2 n}{2(1+w)k^2}\right\}, $$

Где $w=w(k) \approx 16.321353635089400918$.

[Ales]

Не понимаю только смысла такой задачи.
Ответ запредельно велик, значит надо требовать определить только величину его десятичного логарифма, с некоторой точностью (10%).

[Хорхе]

У меня получилось побольше, $2.5\cdot 10^{13}$.

[Ales]

У меня все равно получается $10^{13}$.

[Хорхе]

Ну тут я, наконец, прав

Если нам интересен логарифм, то достаточно написать $z_k^k \approx \frac{\ln k}{k}$ ($z_k$ --- решение уравнения $1-z-z_k^k=0$). Соответственно, $\ln (z_k^{-n}) \approx -\frac nk \ln z_k^k \approx n(\ln k - \ln \ln k)/k$, что дает $2.42\cdot 10^{13}$.

[Ales]

Хорхе в сообщении #371353 писал(а):

Ну тут я, наконец, прав

Если нам интересен логарифм, то достаточно написать $z_k^k \approx \frac{\ln k}{k}$ ($z_k$ --- решение уравнения $1-z-z_k^k=0$). Соответственно, $\ln (z_k^{-n}) \approx -\frac nk \ln z_k^k \approx n(\ln k - \ln \ln k)/k$, что дает $2.42\cdot 10^{13}$.

Вы, наверное, считаете натуральный логарифм. А он больше десятичного в 2.3 раза.

[Хорхе]

Ааа, Вы про десятичный.

[yuriyyy10]

Уважаемый Хорхе.
В своем сообщении в сб. ноя 06, 2010 13:39:30 в теме "Сумма ряда" Вы даете расчетную формулу для определения суммы ряда:

Цитата:

"То есть получается так (при $k=2\cdot 10^8$, $n=3\cdot 10^{20}$):

$$ N \approx \frac{1}{w-1} \left(\frac k w\right)^{n/k}\exp\left\{\frac{w^2 n}{2(1+w)k^2}\right\}, $$

Где $w=w(k) \approx 16.321353635089400918$."

В своем сообщении в чт ноя 04, 2010 11:10:20 я определил значения переменных $h=3*10^{20}; w=2*10^8$
Правильно ли я понимаю: произошло переобозначение переменных и теперь:

$$h=n; w=k ?$$

Величина $w(k)$ определяется согласно сообщению:

Padawan в сообщении #371217 писал(а):

Maple дает такую асимптотику для $x_k$

$$x_k=1-\frac{w(k)}{k}+\frac{1}{2}\frac{w^3(k)}{1+w(k)}\frac{1}{k^2}+O(\frac{1}{k^3}) \ ,$$

где $w(k)=\mathrm{LambertW}\,(k)$ -- корень уравнения $we^w=k$. $w(k)\approx \ln k$.

Только, вроде, остаточный член надо заменить на $O(\frac{1}{k^{3-\varepsilon}})$ с любым $\varepsilon>0$.

и поэтому $w$ определяется , из уравнения:

$$we^w=2*10^8.$$

Подстановка подтверждает это при $w \approx 16.321353635089400918$

О точности.

Ales в сообщении #371335 писал(а):

Не понимаю только смысла такой задачи.
Ответ запредельно велик, значит надо требовать определить только величину его десятичного логарифма, с некоторой точностью (10%).

Десятичный логарифм N, согласно полученному ответу, равен $10^{13}$. В то же время

$$10^{10^{13}+{0.0413927}}\approx1.1{*}10^{10^{13}$$

Т.е. добавка 0.0413927 к $10^{13}$ дает погрешность 10%.
Посчитан ли логарифм с точностью $0.0413927{*} {10^{-13}}$ ? Вопрос, очевидно, риторический.

Вопрос: почему только один коэффициент при какой-то степени при разложении производящей функции в ряд Тейлора, а не сумма всех коэффициентов, дает ответ?

[Ales]

yuriyyy10 в сообщении #373448 писал(а):

О точности.

Десятичный логарифм N, согласно полученному ответу, равен $10^{13}$. В то же время

$$10^{10^{13}+{0.0413927}}\approx1.1{*}10^{10^{13}$$

Т.е. добавка 0.0413927 к $10^{13}$ дает погрешность 10%.
Посчитан ли логарифм с точностью $0.0413927{*} {10^{-13}}$ ? Вопрос, очевидно, риторический.

Вопрос: почему только один коэффициент при какой-то степени при разложении производящей функции в ряд Тейлора, а не сумма всех коэффициентов, дает ответ?

Чтобы решить Вашу задачу нужно производить вычисления с 15-значными числами.
Но Exel считает только на 12 знаках, иначе я бы написал требуемый ответ.
Писать программу - неохота.
Также можно посчитать вручную с логарифмическими таблицами, в начале 20 века делали именно так.
Чтобы избавить студента от кропотливых вычислений можно изменить условие задачи и требовать вычисление не самой величины с погрешностью 10%, а ее логарифма.

Что Вы имеете в виду, когда пишите "сумма всех коэффициентов"?

[ИСН]

Помилуйте, логарифм с такой погрешностью считается в уме. А 15 знаков - ну, любой мат.пакет...